Question

一傾角為的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質量m=0.09kg的小物塊（視為質點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數u=0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g="10" m/s²。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

I=0.4(3+)N·s

解法一：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。由功能關系得
                  ①
以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量
                   ②
設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為，則
            ③
同理，有
               ④
                                ⑤
式中，為小物塊再次到達斜面底端時的速度，為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得
                   ⑥
式中
                    ⑦
由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為
                        ⑧
總沖量為
             ⑨
由
                       ⑩
得
                
代入數據得
I=0.4(3+)N·s                         
解法二：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得
                        ①
設小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則
                                    ②
以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為
                            ③
由①②③式得
                      ④
設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為，依牛頓第二定律有
mgsin+umgcos= m                           ⑤
小物塊沿斜面向上運動的最大高度為
                     ⑥
由②⑤⑥式得
h′=k²h                                      ⑦
式中
                                    ⑧
同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量
I′=2m                             ⑨
由④⑦⑨式得
I′=kI                                                      ⑩
由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為
I₁=2m                        
總沖量為
I=I₁+ I₂ +I₃+I₄= I₁（1+k+k²+ k³）                    
由
1+k+k²+…+k^n-1=                  
得
                           
代入數據得
I=0.4(3+)N·s