Question

【題目】（18分）下圖為某種離子加速器的設計方案.兩個半圓形金屬盒內存在相同的垂直于紙面向外的勻強磁場.其中和是間距為的兩平行極板，其上分別有正對的兩個小孔和，，P為靶點，（為大于1的整數）.極板間存在方向向上的勻強電場，兩極板間電壓為.質量為、帶電量為的正離子從點由靜止開始加速，經進入磁場區域.當離子打到極板上區域（含點）或外殼上時將會被吸收.兩虛線之間的區域無電場和磁場存在，離子可勻速穿過.忽略相對論效應和離子所受的重力.求：

（1）離子經過電場僅加速一次后能打到P點所需的磁感應強度大小；

（2）能使離子打到P點的磁感應強度的所有可能值；

（3）打到P點的能量最大的離子在磁場中運動的時間和在電場中運動的時間。

Answer 1

【答案】（1）（2），

（3），

【解析】

（1）離子經電場加速，由動能定理：，可得

磁場中做勻速圓周運動，

剛好打在P點，軌跡為半圓，由幾何關系可知

聯立解得

（2）若磁感應強度較大，設離子經過一次加速后若速度較小，圓周運動半徑較小，不能直接打在P點，而做圓周運動到達右端，再勻速直線到下端磁場，將重新回到O點重新加速，直到打在P點。設共加速了n次，有：

且

解得：，

要求離子第一次加速后不能打在板上，有，且，

解得：

故加速次數n為正整數最大取

即

（3）加速次數最多的離子速度最大，取，離子在磁場中做n-1個完整的勻速圓周運動和半個圓周打到P點。

由勻速圓周運動

電場中一共加速n次，可等效成連續的勻加速直線運動.由運動學公式

可得：