Question

【題目】如圖所示，半徑為r=0.4m的1/4圓形光滑軌道AB固定于豎直平面內，軌道與粗糙的水平地面相切于B點，CDE為固定于豎直平面內的一段內壁光滑的中空方形細管，DE段被彎成以O為圓心、半徑R=0.2m的一小段圓弧，管的C端彎成與地面平滑相接，O點位于地面，OE連線豎直．可視為質點的物塊b，從A點由靜止開始沿軌道下滑，經地面進入細管（b橫截面略小于管中空部分的橫截面），b滑到E點時受到細管下壁的支持力大小等于所受重力的1/2．已知物塊b的質量m = 0.4kg，g取10m/s2．

（1）求物塊b滑過E點時的速度大小vE．

（2）求物塊b滑過地面BC過程中克服摩擦力做的功Wf．

（3）若將物塊b靜止放在B點，讓另一可視為質點的物塊a，從A點由靜止開始沿軌道下滑，滑到B點時與b發生彈性正碰，已知a的質量M≥m，求物塊b滑過E點后在地面的首次落點到O點的距離范圍．

Answer 1

【答案】(1)1m/s(2) (3) 0.2m≤x＜1m

【解析】

試題（1）物塊b滑過E點時重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律得

（2分）代入

聯立解得 （1分）

（2）物塊b從A點到E點的過程中，由動能定理得

（2分）

解得 （1分）

（3）物塊a從A滑到B的過程機械能守恒，設物塊a滑到B點時速度為v，則有

（1分）

解得

設碰撞后物塊a、b的速度分別為va、vb，碰撞過程由動量守恒和機械能守恒得

（2分）

（2分）

聯立解得

因為M≥m，由上式可知，

碰撞后v≤vb＜2v，即m/s≤vb＜m/s （2分）

物塊b從B點到E點的過程中，由動能定理得

（2分）

物塊b離開E點后做平拋運動，設時間為t，首次落點到O點的距離為x，則有

（1分）

（1分）

由以上三式聯立解得 0.2m≤x＜1m（1分）