Question

【題目】如圖所示,P、Q為某地區水平地面上的兩點,在P點正下方一球形區域內儲藏有石油.假定區域周圍巖石均勻分布,密度為ρ;石油密度遠小于ρ,可將上述球形區域視為空腔.如果沒有這一空腔,則該地區重力加速度(正常值)沿豎直方向;當存在空腔時,該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏離.重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”.為了探尋石油區域的位置和石油儲量,常利用P點附近重力加速度反常現象.已知引力常數為G.

(1)設球形空腔體積為V,球心深度為d(遠小于地球半徑),求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常;

(2)若在水平地面上半徑為L的范圍內發現:重力加速度反常值在δ與kδ(k>1)之間變化,且重力加速度反常的最大值出現在半徑為L的范圍的中心.如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石,則該地區重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通過填充后的球形區域產生的附加引力

mΔg①

來計算,式中m是Q點處某質點的質量,M是填充后球形區域的質量.

M=ρV②

而r是球形空腔中心O至Q點的距離

r=③

Δg在數值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反常Δg′是這一改變在豎直方向上的投影

Δg′=Δg④

聯立①②③④式得

Δg′=⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分別為

(Δg′)max=⑥

(Δg′)min=⑦

由題設有

(Δg′)max=kδ,(Δg′)min=δ⑧

聯立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為