Question

如圖所示，A、B兩物體的質量分別是m₁=5 kg，m₂=3 kg.它們在光滑水平面上沿同一直線向右運動，速度分別為v₁=5 m/s,v₂=1 m/s.當A追上B后，與B上固定的質量不計的彈簧發生相互作用.彈簧被壓縮后再伸長，把A、B兩物體彈開，已知A、B兩物體作用前后均沿同一直線運動，彈簧壓縮時未超過彈簧的彈性限度.

求：

（1）AB相互作用后的最終速度各是多少?

（2）碰撞中彈簧具有的最大彈性勢能是多少?

Answer 1

解析：A、B相互作用過程中系統水平方向的動量守恒，系統無機械能損失，機械能守恒，由此可解得A、B的最終速度.當A、B兩物體速度相同時彈簧的壓縮量最大，彈簧具有最大的彈性勢能.

（1）以AB為系統，在碰撞過程中所受合外力為零，總動量守恒，則有（取運動方向為正向）

m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′                                                   ①

又AB相互作用時，只有彈力做功，機械能守恒，即作用前后的動能守恒，有

m₁v₁²+m₂v₂²=m₁v₁′²+m₂v₂′²⁺                                       ②

把以上兩式移項變形為

m₁(v₁-v₁′)=m₂(v₂′-v₂)                                                      ③

m₁(v₁²-v₁′²)=m₂(v₂′²-v₂²)                                                   ④

③④兩式相除得v₁+v₁′=v₂+v₂′

所以v₂′=v₁+v₁′-v₂                                                        ⑤

將⑤式代入①式得m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂(v₁+v₁′-v₂)

所以碰后A的速度==2 m/s

v₁′方向水平向右.

將v₁′代入⑤式得v₂′=v₁+v₁′-v₂=（5+2-1） m/s=6 m/s

即碰后B的速度是v₂′=6 m/s

v₂′方向水平向右.

（2）A相對B靜止時，彈簧壓縮最短，彈性勢能最大，這時A、B速度相同，根據動量守恒定律得m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)v

所以共同運動的速度=3.5 m/s

由機械能守恒定律有m₁v₁²+m₂v₂²=(m₁+m₂)v²+E_p

所以彈簧的最大彈性勢能E_p=m₁v₁²+m₂v₂²- (m₁+m₂)v²

=×5×5² J+×3×1² J-×(5+3)×3.5² J=15 J.

答案：（1）2 m/s,向右，6 m/s,向右  （2）15 J