Question

【題目】圖中給出一段“ ”形單行盤山公路的示意圖，彎道1、彎道2可看作兩個(gè)不同水平面上的圓弧，圓心分別為 ，彎道中心線半徑分別為 ，彎道2比彎道1高 ，有一直道與兩彎道圓弧相切。質(zhì)量 的汽車通過(guò)彎道時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍，行駛時(shí)要求汽車不打滑。（sin37°=0.6，sin53°=0.8）

（1）求汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度 ；
（2）汽車以 進(jìn)入直道，以 的恒定功率直線行駛了 ，進(jìn)入彎道2，此時(shí)速度恰為通過(guò)彎道2中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對(duì)汽車做的功；
（3）汽車從彎道1的A點(diǎn)進(jìn)入，從同一直徑上的B點(diǎn)駛離，有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)會(huì)利用路面寬度，用最短時(shí)間勻速安全通過(guò)彎道，設(shè)路寬 ，求此最短時(shí)間（A、B兩點(diǎn)都在軌道的中心線上，計(jì)算時(shí)視汽車為質(zhì)點(diǎn) ）。

Answer 1

【答案】
（1）

彎道1的最大速度v1，有：

得

（2）

彎道2的最大速度v2，有：

得

直道上由動(dòng)能定理有：

代入數(shù)據(jù)可得

（3）

可知r增大v增大，r最大，切弧長(zhǎng)最小，對(duì)應(yīng)時(shí)間最短，所以軌跡設(shè)計(jì)應(yīng)如下圖所示

由圖可以得到

代入數(shù)據(jù)可以得到r’=12.5m

汽車沿著該路線行駛的最大速度

由

線路長(zhǎng)度

最短時(shí)間 。

【解析】（1）汽車拐彎時(shí)靠靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，汽車的速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v1；（2）同理求出汽車沿彎道2中心線行駛時(shí)的最大速度v2，再研究汽車在直道上行駛的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求阻力對(duì)汽車做的功；（3）當(dāng)汽車沿著與彎道1內(nèi)切的弧線運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間最短，且速度最大，根據(jù)幾何關(guān)系求出該弧線的半徑，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求最短時(shí)間．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用靜摩擦力和向心力，掌握靜摩擦力:靜摩擦力大小可在0與fmax 之間變化，一般應(yīng)根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由平衡條件或牛頓定律來(lái)求解；向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬(wàn)不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力即可以解答此題．