Question

電動機帶動滾輪勻速轉動，在滾輪的作用下，將金屬桿從最底端A送往傾角θ=30°的足夠長斜面上部．滾輪中心B與斜面底部A的距離為L=6.5m，當金屬桿的下端運動到B處時，滾輪提起，與桿脫離接觸．桿由于自身重力作用最終會返回斜面底部，與擋板相撞后，立即靜止不動．此時滾輪再次壓緊桿，又將金屬桿從最底端送往斜面上部，如此周而復始．已知滾輪邊緣線速度恒為v=4m/s，滾輪對桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與桿間的動摩擦因數為μ=0.35，桿的質量為m=1×10³Kg，不計桿與斜面間的摩擦，取g=10m/s²．
求：（1）在滾輪的作用下，桿加速上升的加速度；
（2）桿加速上升至與滾輪速度相同時前進的距離；
（3）每個周期中電動機對金屬桿所做的功；
（4）桿往復運動的周期．

Answer 1

【答案】分析：對桿進行受力分析，桿在重力、支持力、滾輪壓力和摩擦力作用下產生加速度，求出物體所受合力可以得加速度a；由加速度和桿運動的末速度與輪邊緣相同可求出桿運動的時間t，輪分兩個過程對桿做功，在兩個過程中根據動能定理可求出輪對桿所做的功W；把桿的運動分成三段，一是在滑動摩擦力作用下的勻加速運動，二是在靜摩擦力作用下的勻速運動，三是重力沿斜面向下分力作用下的勻減速直線運動，分三段運動求桿運動的時間即可．
解答：解：（1）對桿進行受力分析

桿受重力G、斜面對桿的彈力F₁，滾輪對桿的壓力F₂和滾輪對桿沿斜面向上的摩擦力f，四個力作用．建立直角坐標系，有：
F_合x=f-Gsinθ=ma          ①
F_合y=F₁-F₂-mgcosθ=0   
∵輪對桿的壓力
∴輪對桿的摩擦力f=μF_N=μF₂，代入①式得桿產生的加速度：
a===2m/s²
（2）由題意知，桿做初速度為0，加速度a=2m/s²的勻加速運動，末速度與滾輪邊緣線速度大小相同即v=4m/s．
根據勻加速直線運動速度位移關系可得：
v²=2ax
即位移：x==
（3）當桿的速度等于滾輪邊緣的線速度的大小時，桿與滾輪間的摩擦力由滑動摩擦力變為靜摩擦力，大小由
f=μF₂變為f′=mgsinθ
根據題意知，桿的下端到B的距離L=6.5m，桿加速運動的位移x=4m，則桿在L-x的距離中以4m/s做勻速直線運動
令滾輪在加速過程中對桿做功為W₁在勻加速過程中使用動能定理有：

即：=J=2.8×10⁴J
令滾輪向上勻速運動過程中滾輪對桿做的功為W₂，此過程中使用動能定理有：
=0
所以滾輪對桿做的功W₂=-W_G2=-mg（L-x）cos（90°+30°）==1.25×10⁴J
所以在一個上升過程中，滾輪對桿做的總功W=W₁+W₂=4.05×10⁴J
即一個周期中電動動機對金屬桿的做的功W=4.05×10⁴J
（4）根據題意知，桿在一個同期中的運動分為三個過程：
第一個過程桿向上做勻加速直線運動時間
第二個過程桿向上做勻速直線運動，時間
第三個過程桿做勻變速直線運動，以沿斜面向上為正方向，則已知初速度為v=4m/s，重力沿斜面向下的分力使桿產生加速度a′=-gsinθ=-5m/s²負號表示方向沿斜面向下，桿回到底端的位移為x=-6.5m，根據勻變速直線運動位移時間關系x=，代入可解得該段過程所用時間為：
t₃=2.6s．
所以整個周期的時間T=t₁+t₂+t₃=2+0.65+6s=5.225s
答：（1）在滾輪的作用下，桿加速上升的加速度a=2m/s²；
（2）桿加速上升至與滾輪速度相同時前進的距離x=4m；
（3）每個周期中電動機對金屬桿所做的功W=4.05×10⁴J；
（4）桿往復運動的周期T=5.225s．
點評：正確對桿進行受力分析，根據受力情況確定桿的運動情況，分析桿在運動過程中各力的做功情況，根據動能定理求解即可．注意對運動性質的確定，能正確判斷物體的運動性質，并能寫出運動規律．