Question

【題目】如圖所示，半球形玻璃的球半徑為R，一束平行的激光束垂直射到半球形玻璃的左側(cè)面上，其中一條光線沿直線穿過(guò)玻璃，它的入射點(diǎn)是O；另一條光線的入射點(diǎn)為A，穿過(guò)玻璃后兩條光線交于P點(diǎn)，OA＝，OP＝R。若在半球形玻璃的左側(cè)面上貼上不透光的紙片，激光束不從曲面上直接透射出去，則該紙片的最小面積為多大?

Answer 1

【答案】

【解析】作出光路圖如圖所示．

一條光線沿直線進(jìn)入玻璃，在半圓面上的入射點(diǎn)為B，入射角設(shè)為θ1，折射角設(shè)為θ2，則： ，

得

因OP=R，由幾何關(guān)系知 BP=R，則折射角

θ2=2θ1=60°

由折射定律得玻璃的折射率為

n===．

若光線恰在曲面上發(fā)生全反射，則 sinC=

根據(jù)幾何知識(shí)可知，此時(shí)從曲面上直接射出去的光線在圓面上是以O為圓心、半徑為r的圓．

則 sinC=

因而該紙片的最小面積為 S=πr2

聯(lián)立解得 S=

答：該紙片的最小面積為．