Question

（14分）如圖所示，固定的光滑金屬導軌間距為L，導軌電阻不計，上端a、b間接有阻值為R的電阻，導軌平面與水平面的夾角為θ，且處在磁感應強度大小為B、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中。質量為m、電阻為r的導體棒與固定彈簧相連后放在導軌上。初始時刻，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有沿軌道向上的初速度v₀。整個運動過程中導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸。已知彈簧的勁度系數為k，彈簧的中心軸線與導軌平行。

（1）求初始時刻通過電阻R的電流I的大小和方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變為v，求此時導體棒的加速度大小a；
（3）導體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導體棒從開始運動直到停止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q。

Answer 1

（1）電流大小I₁=，電流方向為b→a；（2）a=gsinθ－；（3）Q==。

解析試題分析：（1）已知初始時刻的速度，可求電動勢，再根據歐姆定律可求電流，由右手定則可判斷出棒中的感應電流方向，進而得出電路中的電流方向來；（2）由于導體棒第一次回到初始位置時，速度的方向沿斜面向下，速度已知，感應電動勢可求，電流可求，安培力也可求出來，且安培力的方向沿斜面向上，故棒受到的力有重力、安培力和支持力，求出它們在沿斜面方向上的分量，利用牛頓第二定律即可求出加速度的大小；（3）欲求電阻R上產生的焦耳熱，我們可以通過求整個電路的焦耳熱，再根據電阻的大小分配得出，而整個電路的焦耳熱，則可由能量守恒定律得出來。
具體過程：
（1）棒產生的感應電動勢E₁=BLv₀，
通過R的電流大小I₁=，電流方向為b→a。
（2）棒產生的感應電動勢E₂=BLv，
感應電流I₂=，
棒受到的安培力大小F=BIL=，方向沿斜面向上。
根據牛頓第二定律，有mgsinθ－F=ma，解得a=gsinθ－。

（3）導體棒最終靜止，有mgsinθ=kx，壓縮量x=。
設整個過程回路產生的焦耳熱為Q₀，
根據能量守恒定律，有mv₀²+mgxsinθ=E_p+Q₀，即Q₀=mv₀²+－E_p，
電阻R上產生的焦耳熱Q==
考點：本題考查了感應電動勢、安培力的計算，能量守恒定律等知識。