Question

已知太陽到地球與地球到月球的距離的比值約為390，月球繞地球旋轉的周期約為27天，利用上述數據以及日常的天文知識，可估算出太陽對月球與地球對月球的萬有引力的比值約為（　　）

A．0.2

B．2

C．20

D．200

Answer 1

分析：由萬有引力等于向心力，分別列出太陽與地球的引力的表達式，地球與月球的引力的表達式；兩式相比求得表示引力之比的表達式，再由圓周運動的心力由萬有引力來提供分別列出地球公轉，月球公轉的表達式．進而分析求得比值．

解答：解：太陽對月球的萬有引力：F1=

Gm日m月

r2

-------①（r指太陽到月球的距離）
     地球對月球的萬有引力：F2=

Gm地m月

r 2 2

------②（r₂指地球到月球的距離）
  r₁表示太陽到地球的距離，因r₁=390r₂，因此在估算時可以認為 r=r₁（即近似認為太陽到月球的距離等于太陽到地球的距離），
則由

①

②

得：

F1

F2

=

m日 r 2 2

m 2 地 r 2 1

-----③
由圓周運動求中心天體的質量，由地球繞太陽公轉：

Gm日m地

r 2 1

=m地

4π2

T 2 1

r1----④（T1指地球繞太陽的公轉周期T₁=365天），由月球繞地球公轉：

Gm地m月

r 2 2

=m月

4π2

T 2 2

r₂---------⑤（T₂指月球周期，T₂=27天）
由

④

⑤

可得：

m日

m地

=

r 3 1 T 2 2

r 3 2 T 2 1

----------------⑥
把⑥式代入③式

F1

F2

=

m日 r 2 2

m地 r 2 1

  可得

F1

F2

=

r1 T 2 2

r2 T 2 1

=390(

27

365

)2≈2
 所以ACD錯誤，B正確，
故選：B

點評：本題考查萬有引力定律．首先要根據萬有引力定律表達出太陽的地球的質量，然后再列出太陽和地球分別對月球的萬有引力定律方程．