Question

如圖所示，某一空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．左側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仍為B，方向垂直紙面向里，其右邊界可向右邊無限延伸．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從電場(chǎng)左邊界上的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間的磁場(chǎng)區(qū)域后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述過程．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qEL=

1

2

mv²，
解得：v=

2qEL m

；
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

，
解得，粒子軌道半徑：R=

1

B

2mEL q

，
兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，粒子在兩磁場(chǎng)中的軌道半徑相等，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，

三段圓弧的圓心組成的三角形△O₁O₂O₃是等邊三角形，
其邊長為2R．所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為
d=Rsin60°=

1

2B

6mEL q

；
（3）粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t₁=2

v

a

=2

v

qE m

=2

2mL qE

，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πm

qB

，
在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=2×

θ

360°

T=2×

60°

360°

×

2πm

qB

=

2πm

3qB

，
在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=

θ′

360°

T=

300°

360°

×

2πm

qB

=

5πm

3qB

，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間：
t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

7πm

3qB

；
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率

2qEL m

；（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度

1

2B

6mEL q

；（3）帶電粒子從O開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間2

2mL qE

+

7πm

3qB

．