Question

半徑為R的半圓形光滑軌道豎直放置，與粗糙水平軌道相接于最低點，水平軌道的最右端有一豎直擋板．今有一質量為m的小球從軌道最高點水平飛入軌道，飛入時對軌道的壓力3mg．已知小球與水平軌道間的動摩擦因素為μ．
（1）求小球第一次過半圓軌道最低點時對軌道壓力的大小？
（2）小球第一次與擋板發生碰撞（碰撞過程中無機械能損失）后，恰能返回半圓軌道最高點，求水平軌道的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）、此題要找到幾個狀態，一是第一次經過最高點，二是第一次經過最低點，三是第二次經過最高點，對這三個狀態進行分析．第一次經過最高點時，小球的重力和軌道最小球的支持力提供向心力，由向心力公式可求出此時的速度，由最高點到第一次經過最低點的過程中機械能守恒．應用能量關系求出速度v₁，由向心力求出軌道對小球的支持力，再由牛頓第三定律可知小球對軌道的壓力．
（2）、第二次回到最高點時，重力提供向心力，求出此時的速度v₂，整個過程除重力做功外，還有摩擦力做功，由能量的轉化和守恒可求出水平軌道的長度．
解答：解：
（1）、小球飛入軌道時的速度為v，第一次過最低點的速度為v₁，受到的支持力為N₁，則由圓周運動規律、機械能守恒定律得：
小球在最高點時：…①
小球在最低點時：…②
…③
聯立以上各式并代入數據得：N₁=9mg
由牛頓第三定律得小球第一次過最低點時對軌道的壓力：N₁′=N₁=9mg
（2）、由圓周運動規律、動能定理得：
恰能回到最高點時，有：…④
…⑤
聯立以上各式解得：
答：（1）求小球第一次過半圓軌道最低點時對軌道壓力為9mg．
（2）水平軌道的長度為．
點評：小球在豎直平面內的圓形軌道內運動時，經過最高點的條件是速度，當速度為時，對軌道沒有壓力，此時只有重力提供向心力．
在解答第一問時，由求得的N₁是小球受到的支持力，問的是小球對管道的壓力，此處一定要用牛頓第三定律．