Question

如圖所示，豎直光滑直軌道OA高度為2R，連接半徑為R的半圓形光滑環形管道ABC（B為最低點），其后連接

1

4

圓弧環形粗糙管道CD，半徑也為R．一個質量為m的小球從O點由靜止釋放，自由下落至A點進入環形軌道，從D點水平飛出，下落高度剛好為R時，垂直落在傾角為30°的斜面上P點，不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球運動到B點時對軌道的壓力大小；
（2）小球運動到D點時的速度大小；
（3）小球在環形軌道中運動時，摩擦力對小球做了多少功？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出B點的速度，結合牛頓第二定律求出小球運動到B點時軌道對小球的支持力．
（2）小球通過D點后做平拋運動，根據高度求出豎直分速度，通過小球垂直落在傾角為30°的斜面上，根據平行四邊形定則求出平拋運動的初速度，即D點的速度．
（3）對0到D段運用動能定理，求出摩擦力對小球做功的大小．

解答：解：（1）O→B：根據動能定理得，3mgR=

1

2

mυ_B²
解得vB=

6gR

．
在B點，根據牛頓第二定律得：N-mg=m

υ 2 B

R

則壓力N ˊ=N=7mg．
（2）D→P：在豎直方向上，υ_y=

2gR

在P點：

υy

υD

=tan60°
解得υ_D=

6gR

3

．
（3）O→D，根據動能定理得：mgR+W_f=

1

2

mυ_D²
解得W_f=-

2

3

mgR．
答：（1）小球運動到B點時對軌道的壓力大小為7mg；
（2）小球運動到D點時的速度大小為

6gR

3

；
（3）小球在環形軌道中運動時，摩擦力對小球做了-

2

3

mgR的功．

點評：本題考查了圓周運動、平拋運動與動能定理的綜合，知道平拋運動在水平方向上和豎直方向上的運動規律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．