Question

相距L＝1.5m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量為m1＝1.0kg的金屬棒ab和質量為m2＝0.27kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環水平地套在金屬導軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同。ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數為μ＝0.75，兩棒總電阻為R=1.8Ω，導軌電阻不計。ab棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規律變化的外力F作用下，從靜止開始，沿導軌勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放。取重力加速度g=10m/s2。

（1）求出磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2 s內外力F做功40 J，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；
（3）判斷cd棒將做怎樣的運動，求出cd棒達到最大速度所需的時間t0，并在圖（c）中定性畫出cd棒所受摩擦力fcd隨時間變化的圖象。               

Answer 1

(1) ，B＝1.2T；(2)18J；(3)2s，如答圖。

解析考點：導體切割磁感線時的感應電動勢；牛頓第二定律；動能定理的應用；能量守恒定律．
分析：（1）由E=BLv、I= 、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到F與時間t的關系式，再根據數學知識研究圖象（b）斜率和截距的意義，即可求磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小．
（2）由運動學公式求出2s末金屬棒ab的速率和位移，根據動能定理求出兩金屬棒產生的總焦耳熱．
（3）分析cd棒的運動情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
cd棒達到最大速度時重力與摩擦力平衡，而cd棒對導軌的壓力等于安培力，可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律求出最大速度．

解（1）經過時間t，金屬棒ab的速率 v="at"
此時，回路中的感應電流為 I==
對金屬棒ab，由牛頓第二定律得 F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m₁a+m₁g+at
在圖線上取兩點：t₁=0，F₁=11N； t₂=2s，F₂=14.6N
代入上式得 a=1m/s²，B="1.2T"
（2）在2s末金屬棒ab的速率 v_t="at=2m/s"
所發生的位移 S=at²=2m
由動能定律得 W_F-m₁gS-W_安=m₁v
又 Q=W_安
聯立以上方程，解得
Q=W_F-mgs-m v=40-1×10×2-×1×2²=18（J）
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
當cd棒速度達到最大時，對cd棒有：m₂g=μF_N
又 F_N=F_安 F_安=BIL
整理解得 m₂g=μBIL
對abcd回路：I==
解得 v_m=="2m/s"
v_m=at₀得 t₀=2s
f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．
答：
（1）求出磁感應強度B的大小為1.2T，ab棒加速度大小1m/s²；
（2）這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱是18J；
（3）cd棒達到最大速度所需的時間t₀為2s，cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的情況如圖．