Question

如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m．現有一個旅行包（視為質點）以v₀=10m/s的初速度向右水平地滑上水平傳送帶，已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數為μ=0.6．本題中g取10m/s²．試討論下列問題：
①．若傳送帶靜止，旅行包滑到B端時，人若沒有及時取下，旅行包點將從B端滑落，則包的落地點距B端的水平距離又是多少？
②．設皮帶輪順時針勻速運動，且皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又是多少？
③．設皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉動，畫出旅行包落地點距B端的水平距離S 隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑動，受到重力、支持力和滑動摩擦力，根據牛頓第二定律列式求加速度，然后根據速度位移公式列式求解末速度，最后根據平拋運動的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直減速，到達最右端的速度與傳送帶不動時的速度相同，則平拋的初速度相同，射程也就相同，故只需傳送帶的速度小于旅行箱到達最右端的速度即可；皮帶的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先減速后勻速，根據運動學公式和平拋運動的分位移公式列式求解．
（3）分三種情況進行討論分析：一直勻減速運動，先勻減速后勻速，一直勻加速運動，進而求出角速度與水平位移的關系．

解答：解：（1）旅行包做勻減速運動，ma=μmg
  a=6m/s²
旅行包到達B端速度為v=

v 2 0 -2aL

=2m/s 
旅行包離開傳送帶后做平拋運動，則有：
包從B點到落地點的時間t=

2h g

包的落地點距B端的水平距離為s=vt
解得：s=0.6m
（2）當ω₁=40rad/s時，皮帶速度為v₁=ω₁R=8m/s
當旅行包速度也為v₁=8m/s時，在皮帶上運動了位移s=

v 2 0 - v 2 1

2a

解得：s=3m＜8m（1分以后旅行包作勻速直線運動，所以旅行包到達B端的速度也為v₁=8m/s）
包的落地點距B端的水平距離為s₁=v₁t
解得：s₁=2.4m
（3）皮帶輪順時針勻速轉動，若v_皮≤2m/s 
則旅行包一直做勻減速運動，到達B點的速度為2m/s，
皮帶輪的臨界角速度為
ω=

v

r

=

2

0.2

rad/s=10rad/s                       
所以當ω≤10rad/s時，旅行包落地點距B端的水平距離S總是0.6m，
若物體在傳送帶上一直做勻加速直線運動，則根據位移-速度公式得：
2as=v2-v02
解得：v=14m/s
即要求v_皮≥14m/s，ω=

v

r

=70rad/s 
此時物體到達B點的速度為14m/s
s=vt=14×0.3m=4.2m
所以當ω≥70rad/s時，旅行包落地點距B端的水平距離S總是4.2m，
若2m/s＜v_皮＜14m/s時，旅行包先減速運動，速度與傳送帶相同時做勻速直線運動，
最終速度與傳送帶速度相同，所以v=ωr
s=vt=0.06ω，圖象是一條傾斜的直線
所以畫出的圖象如圖所示．
答：①．包的落地點距B端的水平距離是0.6m；
②．設皮帶輪順時針勻速運動，且皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離是2.4m；
③．圖象如圖所示．

點評：本題關鍵是對小滑塊的運動情況分析清楚，然后根據牛頓第二定律、運動學公式和平拋運動的分位移公式列式求解．