Question

我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年的時間完成，這極大地提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注，以下是某位同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計的兩個問題，請你回答：
（1）若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運行的周期為T，且把月球繞地球的運行近似看作是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運行的軌道半徑．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，小球落回月球表面時與拋出點間的水平距離為s，已知月球的半徑為R_月，引力常量為G，試求月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）先根據(jù)平拋運動的知識求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．

解答：解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，月球的軌道半徑為r，則：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得：
r=

3	gR2T2 4π2

…③
故月球繞地球運行的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

．
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g_月，由平拋運動規(guī)律得：
h=

1

2

g月t2…④
s=v₀t…⑤
由④⑤式得：
g月=

2v02h

s2

…⑥
在月球表面有：
m′g月=G

M月m′

R2   月

…⑦
由⑥⑦式得：
M月=

2v02hR月2

Gs2

…⑧
故月球的質(zhì)量為

2v02hR月2

Gs2

．

點評：關(guān)鍵是抓住星球表面處重力等于萬有引力以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力．