Question

如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN，P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置，其俯視圖如圖乙所示．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計，極板長均為L=0.2m，板間電壓都是U=6.0×10²V．金屬板右側為豎直向下的勻強磁場，磁感應強度B=5×10²T，磁場區域足夠大．今有一質量為m=1×10^-4kg，電量為q=2×10^-6C的帶負電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側中點O沿極板中軸線以初速度v₀=4m/s進入平行金屬板PQ．



（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度；
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經磁場偏轉射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．則金屬板Q、M間距離最大是多少？

Answer 1

（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運動：
小球所受電場力F=qE=q

U

d

，
而小球加速度a=

F

m

 
故a=

qU

md

a=

6×102×2×10-6

0.2×1×10-4

m/s2=60m/s2
小球在板間運動的時間 t=

L

v0

=

0.2

4

s=0.05s 
小球在垂直板方向上的速度 v_y=at=60×0.05m/s=3m/s     
則小球離開PQ板時的速度為vt=

v 20 + v 2y

=

42+32

m/s=5m/s 
v_t沿中軸線的夾角為tanθ=

vy

v0

=

3

4

                  
（2）在PQ極板間，若P板電勢比Q板高，則小球向P板偏離，進入右側磁場后做圓周運動，由運動的對稱性，則必須N板電勢高于M板電勢，其運動軌跡如圖a所示；同理若Q板電勢比P板高，則必須M板電勢高于N板電勢，其運動軌跡如圖b所示．否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．
小球進入磁場后做圓周運動，設運動半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，即：
qvtB=m

v 2t

R

  
所以R=

mvt

Bq

=

1×10-4×5

2×10-6×5×102

m=0.5m   
在PQ極板間，若小球向P板偏，設小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_a；在PQ極板間，若小球向Q板偏，設小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_b．由圖中幾何關系（注：圖中半徑不同，為簡便，兩圖合一）可算得：
 ha=hb=2Rcosθ=2×0.5×

4

5

m=0.8m 
小球偏離中軸線的位移
Y側=

1

2

at2=

1

2

×60×0.052m=7.5×10^-2m
當小球向P板偏時，根據對稱性可得QM板間的距離為 d1=ha-2(

d

2

+Y側)=ha-d-2Y側  
當小球向Q板偏時，根據對稱性可得QM板間的距離為d2=hb-2(

d

2

-Y側)=hb-d+2Y側  
顯然d₂＞d₁          
代入數據得 d₂=h_b-d+2Y_側=0.8-0.2+2×7.5×10^-2m=0.75m
因而金屬板Q、M間距離最大為0.75m．
答：（1）則小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度大小為5m/s，方向與軸線的夾角正切值為

3

4

；
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經磁場偏轉射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側中點O′沿中軸線射出．則金屬板Q、M間距離最大是0.75m．