Question

【題目】微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性．對于氫原子模型，因為原子核的質量遠大于電子質量，可以忽略原子核的運動，形成類似天文學中的恒星﹣行星系統，記為模型Ⅰ．另一種模型認為氫原子的核外電子并非繞核旋轉，而是類似天文學中的雙星系統，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型Ⅱ．已知核外電子的質量為m，氫原子核的質量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系統的總動能分別用EkⅠ、EkⅡ表示，請通過定量計算來比較EkⅠ、EkⅡ的大小關系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期TⅠ和TⅡ；
（3）通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請分析這樣簡化處理的合理性．

Answer 1

【答案】
（1）解：模型Ⅰ中，設電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運動，根據庫侖定律和牛頓第二定律有：

解得：EkI= =

模型Ⅱ中，設電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運動半徑為r1，原子核的運動半徑為r2．根據庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，

解得：

對于原子核有： ，

解得： =

系統的總動能：EkⅡ=Ek1+Ek2= =

即在這兩種模型中，系統的總動能相等．

答：EkⅠ、的大小為 ，EkⅡ的大小 ，兩種模型中，系統的總動能相等；

（2）模型Ⅰ中，根據庫侖定律和牛頓第二定律有：

解得：TI=

模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為TⅡ

根據庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，

解得：r1=

對原子核有： ，

解得：r2=

因r1+r2=r，將以上兩式代入，可解得：TII=

答：模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期 和 ；

（3）所以有， =

因為M＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

答：因為M＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

【解析】（1）兩種模型中，核外電子都做勻速，圓周運動。向心力都是由原子核和核外電子之間的庫侖力提供，根據向心力公式，結合動能公式聯立求解。
（2）兩種模型中庫侖力提供向心力，結合周期與向心力之間的公式，聯立求解即可。
（3）根據第二問的答案，分析求解即可。