Question

一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h．穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L．每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段的微小滑動）．已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目N個．這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦．求電動機的平均功率

.

P

．

Answer 1

以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v₀，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速直線運動，其末速度等于傳送帶的速度，設這段時間內小貨箱通過的位移為s，所用的時間為t，加速度為a，則對小貨箱有
s=

1

2

at² ①
v₀=at ②
在這段時間內，傳送帶運動的路程為
s₀=v₀t③
由以上各式得
s₀=2s④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為
W₁=fs=

1

2

mV02⑤
傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×

1

2

mV02⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發出的熱量
Q=

1

2

mV02 ⑦
可見，在小貨箱加速運動過程中，小貨箱獲得的動能與系統因相對運動產生的熱量相等．
T時間內，電動機輸出的功為
W=

.

P

T ⑧
此功用于增加小貨箱的動能、重力勢能以及克服摩擦力產生熱量，即
W=

1

2

NmV02+Nmgh+NQ ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L，所以在T時間內運送的小貨箱的個數N，
則V₀T=NL 　 ⑩
聯立⑦⑧⑨⑩式，得

.

P

=

Nm

T

[

N2L2

T2

+gh]．