Question

如圖所示，水平放置的圓盤上，在其邊緣 C 點固定一個小桶，桶的高度不計，圓盤半徑為 R=1m，在圓盤直徑 CD 的正上方，與 CD 平行放置一條水平滑道 AB，滑道右端 B 與圓盤圓心 O 在同一豎直線上，且 B 點距離圓盤圓心的豎直高度 h=1.25m，在滑道左端靜止放置質量為 m=0.4kg的物塊（可視為質點），物塊與滑道的動摩擦因數為 μ=0.2，現用力 F=4N的水平作用力拉動物塊，同時圓盤從圖示位置，以角速度ω=2π  rad/s，繞通過圓心 O 的豎直軸勻速轉動，拉力作用在物塊一段時間后撤掉，最終物塊由B 點水平拋出，恰好落入圓盤邊緣的小桶內．重力加速度取10m/s²．
（1）若拉力作用時間為0.5s，求所需滑道的長度；
（2）求拉力作用的最短時間．

Answer 1

分析：（1）物塊離開B點后做平拋運動，可以求出平拋運動的時間和平拋運動的初速度，物塊在滑道上先勻加速運動再勻減速運動，兩個運動的位移之和為滑道的長度．
（2）若圓盤轉一圈，物塊恰好調入小桶，此時作用力時間最短．圓盤轉一圈的時間與勻加速運動、勻減速運動、平拋運動三個時間之和相等．

解答：解：（1）物塊平拋：h=

1

2

gt2；t=

2h g

=0.5s
物塊離開滑道時的速度：v=

R

t

=2m/s
拉動物塊的加速度，由牛頓第二定律：F-μmg=ma₁；得：a1=8m/s2
撤去外力后，由牛頓第二定律：-μmg=ma₂；得：a2=-2m/s2
勻加速運動的位移x₁=

1

2

a1t12=

1

2

×8×0.25m=1m，勻加速運動的速度v1=a₁t₁=4m/s．
勻減速運動的位移x₂=

v2-v12

2a2

=3m．
板長L=x₁+x₂=4m．
故所需滑道的長度為4m．
（2）盤轉過一圈時落入，拉力時間最短；
盤轉過一圈時間：T=

2π

ω

=1s；
物塊在滑道上先加速后減速，最終獲得：v=a₁t₁-a₂t₂
物塊滑行時間、拋出在空中時間與圓盤周期關系：t₁+t₂+t=T
由上兩式得：t₁=0.3s
故拉力作用的最短時間為0.3s．

點評：解決本題的關鍵知道物塊整個過程的運動：勻加速直線運動、勻減速直線運動和平拋運動，知道三個過程的運動時間與圓盤轉動的時間相等．以及熟練運用運動學公式．