Question

如圖所示，兩個帶電小球（可視為質點），固定在輕質絕緣等腰直角三角形框架OAB的兩個端點A、B上，整個裝置可以繞過O點且垂直于紙面的水平軸在豎直平面內自由轉動．直角三角形的直角邊長為L．質量分別為m_A=3m，m_B=m，電荷量分別為Q_A=-q，Q_B=+q．重力加速度為g．
（1）若施加豎直向上的勻強電場E，使框架OB邊水平、OA邊豎直并保持靜止狀態，則電場強度E多大？
（2）若將勻強電場方向改為與原電場方向相反，保持E的大小不變，則框架OAB在接下來的運動過程中，帶電小球A的最大動能E_kA為多少？
（3）在（2）中，設以O點為零勢能位，則框架OAB在運動過程中，A、B小球電勢能之和的最小值E′為多少？

Answer 1

分析：（1）以O為支點，根據三角架力矩平衡，求解電場強度E．
（2）框架OAB在向下運動的過程中，根據力矩平衡找出動能最大位置，由動能定理求解最大的動能．
（3）框架OAB在向下運動的過程中，電場力一直做正功，A、B小球電勢能之和一直減小，當框架的速度為零時，A、B小球電勢能之和最小，由電場力做功求出電勢能的最小值．

解答：解：（1）以O為支點，根據三角架力矩平衡，M_順=M_逆
    mgL=qEL
求得E=

mg

q

 
（2）設OA邊與豎直方向成α，當系統的力矩平衡時動能最大，則有  M_順=M_逆
即  3mgLsinα=mgLcosα+qELcosα+qELsinα
解得，OA桿與豎直方向夾角α=45°時A球動能最大．
根據系統動能定理W_合=△E_K，得
-3mgL（1-cos45°）+mgLsin45°+qEL sin45°+qEL（1-cos45°）=

1

2

?4mv²
求得A球最大速度v=

( 2 -1)gL

得到A球動能E_KA=

3mgL( 2 -1)

2

．
（3）設OA邊與豎直方向成α時系統的速度為零，根據系統動能定理
-3mgL（1-cosα）+mgLsinα+qELsinα+qEL（1-cosα）=0
得α=90°時系統速度為零，不能再繼續轉過去了．
由于該過程電場力一直做正功，A、B小球電勢能之和一直減小，所以此處A、B小球電勢能之和最小，E′=-qEL=-mgL．
答：
（1）電場強度E是

mg

q

．
（2）框架OAB在接下來的運動過程中，帶電小球A的最大動能E_kA為

3mgL( 2 -1)

2

．
（3）框架OAB在運動過程中，A、B小球電勢能之和的最小值E′為-mgL．

點評：本題是力矩平衡與動能定理的綜合，對于有固定轉動軸的類型，系統靜止時力矩平衡是基本規律．