Question

   如圖20所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C。一物塊被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B滑上滑板。滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連。物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C得距離L在R<L<5R范圍內(nèi)取值，E距A為S=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g。

（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小；

 （2）試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系，并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)。

Answer 1

  解：（1）設(shè)物塊到達(dá)B點(diǎn)的速度為v_B，對(duì)物塊從E到B由動(dòng)能定理得

   ①

解得      ②

（2）假設(shè)物塊與滑板達(dá)到共同速度v時(shí)，物塊還沒有離開滑板，對(duì)物塊與滑板，由動(dòng)量守恒，有        ③

   設(shè)物塊在滑板上運(yùn)動(dòng)的距離為s₁，由能量守恒得  ④

 由③④，得  ⑤

即達(dá)到共同速度v時(shí)，物塊不會(huì)脫離滑板滑下。

設(shè)此過程滑板向右運(yùn)動(dòng)的距離為s₂，對(duì)滑板由動(dòng)能定理得⑥

由③⑥，得

討論：①當(dāng)時(shí)，滑塊在滑板上一直減速到右端，設(shè)此時(shí)的速度為v_C，對(duì)物塊由動(dòng)能定理得

  ⑦

解得

所以克服摩擦力所做的功

設(shè)物塊離開滑板沿圓軌道上升的高度為H，由機(jī)械能守恒得

  ⑧

解得，故物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)。

②當(dāng)時(shí)，滑塊與滑板最終一起運(yùn)動(dòng)至滑板與C相碰，碰后滑塊在滑板上繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)到右端，設(shè)此時(shí)的速度為v_C1 ，對(duì)物塊由動(dòng)能定理得              

   ⑨

解得

所以克服摩擦力所做的功

設(shè)物塊離開滑板沿圓軌道上升的高度為h，由機(jī)械能守恒得

  ⑩

解得，故物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)。