Question

如圖所示，在足夠長的光滑水平軌道上靜止三個小木塊A、B、C，質量分別為m_A=1kg，m_B=1kg，m_C=2kg，其中B與C用一個輕彈簧固定連接，開始時整個裝置處于靜止狀態；A和B之間有少許塑膠炸藥，A的左邊有一個彈性擋板（小木塊和彈性擋板碰撞過程沒有能量損失）．現在引爆塑膠炸藥，若炸藥爆炸產生的能量有E=9J轉化為A和B沿軌道方向的動能，A和B分開后，A恰好在B、C之間的彈簧第一次恢復到原長時追上B，并且與B發生碰撞后粘在一起．求：
（1）在A追上B之前彈簧彈性勢能的最大值；
（2）A與B相碰以后彈簧彈性勢能的最大值．

Answer 1

分析：（1）炸藥爆炸時，A、B分離，該過程中A、B動量守恒，爆炸產生的能量轉化為A、B的動能．爆炸后，以B、C彈簧組成的系統為研究對象，系統水平方向動量守恒，當彈簧壓縮最短時彈性勢能最大，根據系統的機械能守恒求解．
（2）A反彈后，當A與B碰撞瞬間動量守恒，碰后成為一個整體．先以B、C組成的系統為研究對象，根據動量守恒和機械能守恒求出彈簧第一次恢復到原長時B、C的速度大小．再以A、B、C三者以及彈簧組成的系統為研究對象，系統動量守恒，當三者速度相等時，彈簧彈性勢能最大，由動量守恒和機械能守恒列式求解．

解答：解：（1）塑膠炸藥爆炸瞬間取A和B為研究對象，假設爆炸后瞬間A、B的速度大小分別為v_A、v_B，取向右為正方向由動量守恒：-m_Av_A+m_Bv_B=0        
爆炸產生的熱量有9J轉化為A、B的動能：E=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

代入數據解得v_A=v_B=3m/s                 
由于A在炸藥爆炸后再次追上B的時候彈簧恰好第一次恢復到原長，則在A追上B之前彈簧已經有一次被壓縮到最短（即彈性勢能最大），爆炸后取B、C和彈簧為研究系統，當彈簧第一次被壓縮到最短時B、C達到共速v_BC，此時彈簧的彈性勢能最大，設為E_p1．
由動量守恒，得：m_Bv_B=（m_B+m_C）v_BC
由機械能守恒，得：

1

2

m_Bv_B²=

1

2

（m_B+m_C）v_BC²+E_p         
代入數據得：E_P1=3J                                 
（2）設B、C之間的彈簧第一次恢復到原長時B、C的速度大小分別為v_B1和v_C1，則由動量守恒和能量守恒：
  m_Bv_B=m_Bv_B1+m_Cv_C1
 

1

2

mB

v

2 B

=

1

2

mB

v

2 B1

+

1

2

mC

v

2 C1

代入數據解得：v_B1=-1m/s，v_C1=2m/s              
A爆炸后先向左勻速運動，與彈性擋板碰撞以后速度大小不變，反向彈回．當A追上B，發生碰撞瞬間達到共速v_AB
由動量守恒，得：m_Av_A+m_Bv_B1=（m_A+m_B）v_AB
解得：v_AB=1m/s                      
當A、B、C三者達到共同速度v_ABC時，彈簧的彈性勢能最大為E_P2
由動量守恒，得（m_A+m_B）v_AB+m_Cv_C1=（m_A+m_B+m_C）v_ABC 
由能量守恒，得

1

2

(mA+mB)

v

2 AB

+

1

2

mC

v

2 1

=

1

2

(mA+mB+mC)

v

2 ABC

+EP2
代入數據得：E_P2=0.5J           
答：
（1）在A追上B之前彈簧彈性勢能的最大值為3J．
（2）A與B相碰之后彈簧彈性勢能的最大值為0.5J．

點評：本題考查了與彈簧有關的動量、能量問題，有一定綜合性，易錯點在于A反彈后與B碰撞過程中有能量損失，很多學生容易忽略這點，導致錯誤．