Question

在天體運動中，將兩顆彼此距離較近，且相互繞行的行星稱作雙星．已知行星A和行星B的質量分別為m_A和m_B，行星C的質量未知．若僅讓行星A和行星C保持一定距離組成雙星系統，其運動周期為T₁．若讓行星B取代行星A和行星C保持相同距離組成雙星系統，其運動周期為T₂．求行星C的質量m_C．

Answer 1

分析：當行星A和C組成雙星時，對行星A和行星C分別列出萬有引力提供向心力方程．
當行星B和行星C組成雙星時，對行星B列萬有引力提供向心力方程．
聯立可得行星C的質量．

解答：解：當行星A和C組成雙星時，對行星A：
G

mAmC

l2

=mArA

4π2

T12

①
對行星C：
G

mAmC

l2

=mCrC

4π2

T12

②
又：l=r_A+r_C③
當行星B和行星C組成雙星時，對行星B：
G

mBmC

l2

=mBrB

4π2

T22

④
又：l=r_B+r_C′⑤
聯立①②③④⑤解得：
mC=

mAT12-mBT22

T22-T12

答：行星C的質量為mC=

mAT12-mBT22

T22-T12

點評：本題是萬有引力提供向心力的周期表達式的應用，整個題目都是練習這一個公式．