Question

(12分)如圖為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆星，它繞中央恒星O運動軌道近似為圓，天文學家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R，周期為T   

(1)中央恒星O的質量是多大?
(2)長期觀測發現，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t時間發生一次最大的偏離，天文學家認為形成這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B(假設其運行軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據上述現象及假設，預測未知行星B繞中央恒星O運行軌道半徑有多大?

Answer 1

（1）；（2）R₀

試題分析：（1）中央恒星質量為M，A行星質量為m，
則有=m()R  ①      2分
解得：M=       ②      2分
(2)由題意可知：A、B相距最近時,B對A的影響最大，且每隔t時間相距最近。
設B行星周期為T，則有：
-=1           ③         4分
解得：T_B=     ④       2分
設B行星的質量為m′。運動的軌道半徑為R_B，則有
G=m′()R_B      ⑤        2分
由①、④、⑤可得：R_B=R₀      ⑥        2分