Question

【題目】如圖所示的豎直平面內，相距為d不帶電且足夠大的平行金屬板M、N水平固定放置，與燈泡L、開關S組成回路并接地，M板上方有一帶電微粒發射源盒D，燈泡L的額定功率與額定電壓分別為PL、UL.電荷量為q、質量為m1的帶電微粒以水平向右的速度v0連續發射，D盒右端口距M板高h，帶電微粒落到M板上后其電荷立即被吸收且在板面均勻分布，在板間形成勻強電場，當M板吸收一定電量后閉合開關S，燈泡能維持正常發光，質量為m2的帶電粒子Q以水平速度從左側某點進入板間，并保持該速度穿過M、N板.設帶電微粒可視為質點，重力加速度為g，忽略帶電微粒間的相互作用及空氣阻力，試分析下列問題：

（1）初始時帶電微粒落在M板上的水平射程為多少?

（2）粒子發射源的發射功率多大？

（3）若在M、N板間某區域加上磁感應強度為B、方向垂直于紙面的勻強磁場，使Q粒子在紙面內無論從左側任何位置以某最小的水平速度進入，都能到達N板上某定點O，求該Q粒子的最小速度和所加磁場區域為最小時的幾何形狀及位置。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），磁場的最小區域為圓，半徑為d，圓心為距O點d的板間中心處

【解析】（1）由題知，在初始時M板不帶電，帶電微粒在空間做平拋運動．設帶電微粒到達M板的時間為t1，水平射程為l1，有：
h＝gt12…①
l1=v0t1…②
聯立①、②，得…③
（2）燈泡正常發光，金屬板M、N間的電壓為UL，由電容器知識可知，金屬板M、N所帶電量為定值．這時落到板M的電量全部流過燈泡．設流過燈泡的電流為IL，在時間t內流過燈泡的電量為QL，有PL=ILUL…④QL=ILt…⑤
設單位時間發射帶電微粒的個數為n，有QL=nqt…⑥
聯立④⑤⑥，得 …⑦
根據功率知識，有 …⑧
（3）閉合開關S后，M、N板間為勻強電場，Q進入后速度不變，則說明Q所受電場力與重力平衡，設Q粒子電荷量為q2有q2

=m2g，q2＝ …⑨
再進入磁場區域必做勻速圓周運動．以O點為坐標原點如圖建立直角坐標系xOy，Q進入板間做勻速直線運動，到達G點時進入磁場做勻速圓周運動到達O點．設Q做勻速圓周運動的圓心為C，半徑為r，OC與水平方向的夾角為θ，G點的坐標為（x，y），有
x=-rcosθ…⑩
y=r+rsinθ…（11）
聯立⑨⑩式，得
x2+（y-r）2=r2…（12）
由（12）式知道磁場在y軸左邊的邊界為半圓，要讓Q粒子以最小速度在板間任何位置水平入射進入且又要該圓為最小，必有r=d…（13）
Q靠近M板進入磁場時做勻速圓周運動的軌跡為y軸右邊的半圓，其方程為

x2+(y)2＝()2…（14）
Q從其它位置進入磁場做勻速圓周運動的軌跡不會超出y軸與此半圓所圍區域，故磁場在y軸右邊區域最小的邊界也為該半圓，則磁場的最小區域為圓，半徑為d，圓心為距O點d的板中心處．