Question

（2010?渭南一模）如圖所示，在傾角為θ的足夠長的斜面上，有一質量為M的長木板．開始時，長木板上有一質量為m的小鐵塊（視為質點）以相對地面的初速度v₀從長木板的中點沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v的勻速運動（已知v₀＞v），小鐵塊最終跟長木板一起向上做勻速運動．已知小鐵塊與木板、木板與斜面間的動摩擦因數均為μ（μ＞tanθ），試求：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度大小和方向？
（2）長木板至少要有多長？
（3）小鐵塊從中點開始運動到最終勻速運動的過程中拉力做了多少功？

Answer 1

分析：（1）小鐵塊在長木板上滑動時受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根據牛頓第二定律求解加速度．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終跟長木板一起向上做勻速運動．由于鐵塊變速運動過程的加速度一定，看成一種勻減速運動，取沿斜面向上方向為正方向，此過程的初速度為-v₀，末速度為v，由速度公式可求出時間．由位移公式分別此段時間內小鐵塊的位移s₁和木板的位移s₂，由幾何關系得，長木板的長度應滿足：

L

2

≥s₁+s₂，即可求解長木板的最小的長度L．
（3）長木板始終沿斜面向上做勻速運動，由平衡條件求出拉力F，再求解其做功．

解答：解：（1）小鐵塊在長木板上滑動時受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑動摩擦力作用，設小鐵塊的加速度大小為a，對小鐵塊受力分析有（取沿斜面向上為正）：
  μmgcosθ-mgsinθ=ma                           
得 a=g（μcosθ-sinθ）                                   
因為μ＞tanθ，所以小鐵塊與木板有相對滑動時的加速度沿斜面向上．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終獲得穩定速度v，設t后小鐵塊達到穩定速度，則
  v-（-v₀）=at
得 t=

v0+v

g(μcosθ-sinθ)

                      
設此段時間內小鐵塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，有：
s1=

(v0-v)t

2

     方向沿斜面向下（式中v₀＞v）          
s₂=vt　　　　　方向沿斜面向上                   
∵

L

2

≥s₁+s₂                              
∴L≥2（s₁+s₂）=

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

          
（3）對木板M受力分析知拉力為恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ  
則由W=Fs₂=Fvt得：
W=

[μ(m+M)gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ]

μgcosθ-gsinθ

（v₀+v）v=

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

答：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）長木板至少長

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

．
（3）小鐵塊從中點開始運動到最終勻速運動的過程中拉力做功為

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

．

點評：本題是兩個物體多個過程的問題，分析物體的運動過程是基礎，把握臨界條件是解題的關鍵．