Question

【題目】如圖1，光滑絕緣水平平臺(tái)MNQP為矩形，GH∥PQ，MP=NQ=1m，MN=GH=PQ=0.4m，平臺(tái)離地面高度為h=2.45m。半徑為R=0.2m的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.05T，方向豎直向上，與MP邊相切于A點(diǎn)，與NQ邊相切于D點(diǎn)，與GH相切于C點(diǎn)。平臺(tái)上PGHQ區(qū)域內(nèi)有方向由P指向G的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=0.25V/m。平臺(tái)右方整個(gè)空間存在方向水平向右的電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小也為E=0.25V/m，俯視圖如圖2。兩個(gè)質(zhì)量均為m=2×10-5kg的小球a、b，小球a帶正電，電量q=4×10-4C，小球b不帶電，小球a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)。小球a從A點(diǎn)正對(duì)圓心O射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)90°后離開磁場(chǎng)，一段時(shí)間后與靜止在平臺(tái)D點(diǎn)的小球b發(fā)生彈性碰撞，碰后兩球離開平臺(tái)，并在此后的運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生多次彈性碰撞，a球帶電量始終不變，碰撞時(shí)間忽略不計(jì)。已知重力加速度g=10m/s2，π=3.14，不計(jì)空氣阻力，求：

(1)小球a射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；

(2)從小球a射入磁場(chǎng)到第一次與小球b相碰撞，小球a運(yùn)動(dòng)的路程；

(3)兩個(gè)小球落地點(diǎn)與NQ的水平距離。

Answer 1

【答案】（1）0.2m/s （2）0.636m（3）0.684m

【解析】

(1)小球a從A點(diǎn)正對(duì)圓心O射入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)90°后離開磁場(chǎng)，小球a在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖：

分析得半徑R=0.2m

由

得：v=0.2m/s

(2)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程s1=πR=0.628m

電場(chǎng)中加速度

電場(chǎng)的路程

小球a射入磁場(chǎng)到與小球b相碰過程運(yùn)動(dòng)的路程

(3)a、b球彈性碰撞，質(zhì)量相等每一次碰撞速度交換。

D點(diǎn)碰后，兩球速度分別為vaD=0，vbD=0.2m/s

此后兩球拋離平臺(tái)，豎直方向均做自由落體運(yùn)動(dòng)

由得，兩小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

水平方向：b球勻速運(yùn)動(dòng)，a球加速運(yùn)動(dòng)，加速度

每次碰到下一次碰撞，兩球位移相等，v—t圖如圖所示：

可得，每?jī)纱闻鲎查g隔時(shí)間是定值：

由

所以小球在空中碰8次后，再過0.06s落地

小球b在空中碰n次后速度為vbN=(n+1)vbD=0.2(n+1) m/s

小球離開D點(diǎn)后在空中第一次碰撞前，水平位移x1=vb1·△t=0.016m

小球在空中第一次到第二次碰撞水平位移x2=2vb1·△t=0.032m

以此類推，小球在空中第n-1次到第n次碰撞水平位移xn=nx1=0.016m

所以，在空中碰撞8次時(shí)的水平位移x0=0.016×（1+2+3+4+5+6+7+8）=0.576m

第8次碰后

vb8=1.8m/s

va8=1.6m/s

所以，8次碰后0.06s內(nèi)，△xb=vb8×0.06=0.108m

△xa=va8×0.06+×0.062=0.105m

所以，水平位移分別為xa=x0+△xa=0.681m

xb=x0+△xb=0.684m