Question

如圖所示，在大型超市的倉庫中，要利用皮帶運輸機將貨物由平臺D運送到高為h=2.5m的平臺C上．為了便于運輸，倉儲員在平臺D與皮帶間放了一個

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圓周的光滑軌道ab，軌道半徑為R=0.8m，軌道最低點與皮帶接觸良好．已知皮帶和水平面間的夾角為θ=37°，皮帶和貨物間的動摩擦因數為μ=0.75，運輸機的皮帶以v₀=1m/s的速度順時針勻速運動（皮帶和輪子之間不打滑）．現倉儲員將質量m=200kg貨物放于軌道的a端（g=10m/s²）．求：
（1）貨物到達圓軌道最低點b時對軌道的壓力．
（2）貨物沿皮帶向上滑行多遠才能相對皮帶靜止．
（3）皮帶將貨物由A運送到B需對貨物做多少功．

Answer 1

分析：（1）貨物由a從b過程，機械能守恒，求解出b點速度；在b點，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解支持力，最后根據牛頓第三定律求解壓力；
（2）對上滑過程運用動能定理列式求解即可；
（3）由于μ=tanθ=0.75，物體加速上滑達到最大速度后，與傳送帶一起勻速上升，靜摩擦力達到最大值，等于滑動摩擦力，故摩擦力大小不變，方向反向；分減速和勻速過程運用動能定理列式求解．

解答：解：（1）貨物由a到b過程，機械能守恒，有：mgR=

1

2

mv2；
解得：v=

2gR

=

2×10×0.8

=4m/s；
在b點，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：F-mg=m

v2

R

；
解得：F=m（g+

v2

R

）=200×（10+

42

0.8

）=6000N；
故壓力為6000N；
（2）貨物減速上滑過程，根據動能定理，有：(-μmgcos37°-mgsin37°)x=

1

2

m

v

2 0

-0
解得：x=0.625m；
（3）由于μ=tanθ=0.75，物體加速上滑達到最大速度后，與傳送帶一起勻速上升，靜摩擦力達到最大值，等于滑動摩擦力，故摩擦力大小不變，方向反向；
貨物勻速上升過程的上升高度為：h₁=h-xsin37°=2.5-0.625×0.6=2.215m
在x位移內皮帶對貨物做功為：W₁=-μmgxsin37°=-750J
在勻速上升階段，由功能關系，得到：W₂=mgh₁=4250J
故皮帶對物體做的總功為：W=W₁+W₂=-750+4250=3500J
答：（1）貨物到達圓軌道最低點b時對軌道的壓力為6000N．
（2）貨物沿皮帶向上滑行0.625m才能相對皮帶靜止．
（3）皮帶將貨物由A運送到B需對貨物做3500J的功．

點評：本題關鍵明確滑塊的運動規律，然后分階段運用機械能守恒定律、動能定理、功能關系等列式求解，較難．