Question

【題目】如圖所示，兩個半徑均為R的四分之一圓弧構成的光滑細管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平向上，圓心連線O1O2水平，輕彈簧左端定在豎直板上，右端與質量為m的小球接觸（不拴接，小球的直略小于管的內徑），寬和高與為R的本盒子固定于水平面上，盒子左側DG到管道右端C的水平離為R，開始時彈簧處手鎖定狀態，具有的彈性勢能為4mgR，其中g為重力加速度．解除鎖定、小球離開彈簧進入管道、最后從C點拋出．（軌道ABC與木盒截面EFGD在同一豎直面內）

（1）求小球經C點時的動能

（2）求小球經C點時對軌道的壓力；

（3）小球從C點拋出后能直接擊中盒子底部時，討論彈簧定時彈性勢能滿足什么條件

Answer 1

【答案】（1）2mgR（2）3mgR（3）

【解析】

由機械能守恒定律可以求出小球的動能，小球做圓周運動，由牛頓第二定律可以求出小球經C點時對軌道的壓力；小球離開C后做平拋運動，由能量守恒定律求出彈簧的彈性勢能；

解：(1)小球釋放到C的過程，對其應用動能定理可得：

解得小球經C點時的動能：

(2)由(1)可知C點小球的速度：

C點：取向下為正，由牛頓第二定律可得：

解得： 方向向下

由牛頓第三定律可知C點小球對軌道的壓力大小也為；方向垂直軌道向上

(3)小球恰從G點射入盒子中可直接擊中底部，由平拋運動規律可得：

豎直方向：

水平方向：

聯立解得：

小球釋放到C的過程：

得：

小球直接擊中E點時，彈性勢能取符合條件的最大值，由平拋運動規律可得：

豎直方向：

水平方向：

聯立解得：

小球釋放到C的過程：

得：

綜上符合條件的彈性勢能應滿足：