Question

地球質量為M，半徑為R，自轉角速度為ω，萬有引力恒量為G，若規定物體離無窮遠處勢能為0，則質量為m的物體離地心距離為r時，具有的引力勢能可表示為．
（1）試證明一質量m的衛星在離地面距離為h時所具有的機械能為；
（2）國際空間站是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，設空間站離地面高度為h，如果在該空間站直接發射一顆質量為m的小衛星，使其能達到地球同步衛星軌道并能在軌道上正常運行，該衛星在離開空間站時必須具有多大的初動能．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據萬有引力提供向心力求出衛星的線速度，再求出動能和引力勢能求解．
（2）同步衛星在軌道上正常運動，根據萬有引力提供向心力求出軌道半徑．
衛星運動過程中機械能守恒，離開航天飛機時衛星的初動能等于機械能減去引力勢能．
解答：解：（1）證明：由萬有引力提供向心力得
=
r=R+h
得：物體在離地面h處的動能為E_k==
物體在離地面的引力勢能為：E_p=
物體在離地面h的機械能為：
E=E_k+E_p=-
（2）同步衛星在軌道上正常運動行時有：
=mω²r₁
故其軌道半徑r₁=
由上式可得同步衛星的機械能
E₁=-=-m
衛星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛星的機械能為E₁
設離開航天飛機時衛星的初動能為E_k0
則：E_k0=E₁-E_p=-m+
答：（1）證明在上
（2）該衛星在離開空間站時必須具有的初動能是-m+．
點評：該題關鍵是運用萬有引力提供向心力列出等式求解．
清楚衛星在沒有其他動力時，運動過程中是機械能守恒的．