Question

（18分）如圖所示，某傳送帶裝置傾斜放置，傾角=37^o，傳送帶AB長度x_o=l0m。有一水平平臺CD高度保持6．45m不變。現調整D端位置，當D、B的水平距離合適時，自D端水平拋出的物體恰好從B點沿BA方向沖上斜面，此后D端固定不動，g=l0m/s²。另外，傳送帶B端上方安裝一極短的小平面，與傳送帶AB平行共面，保證自下而上傳送的物體能沿AB方向由B點斜向上拋出。（sin37^o=0．6，cos37^o=0．8）

（1）求D、B的水平距離；
（2）若傳送帶以5m/s的速度逆時針勻速運行，某物體甲與傳送帶間動摩擦因數₁=0．9，自A點沿傳送帶方向以某一初速度沖上傳送帶時，恰能水平落到水平臺的D端，求物體甲的最大初速度v_o1
（3）若傳送帶逆時針勻速運行，某物體乙與傳送帶間動摩擦因數₂=0.6，自A點以v_o2=11m/s的初速度沿傳送帶方向沖上傳送帶時，恰能水平落到水平臺的D端，求傳送帶的速度v′。

Answer 1

（1）1.2m （2）17m/s （3）2m/s

解析（1）設水平拋出物體的初速度v₀，經時間t落入傳送帶上時，豎直分速度為v_y ，豎直方向：
h － x₀sinθ = gt²   （2分）
v_y = gt  （1分）
tanθ= （2分）
水平方向距離 x = v₀t（1分） ∴  x = 1.2m（1分）
（2）由（1）中得  sinθ = （1分）
所以物體從傳送帶上落下時   v = 5m/s
則物體甲到B端的速度為v = 5m/s，則恰能水平落到水平臺的D端
由動能定理得：－mg x₀sinθ－μ₁mgcosθx₀  = mv²－mv₀₁²（2分） ∴  v₀₁= 17m/s（2分）
（3）若傳送帶對物體的摩擦力方向始終向下，設物體到B端速度v₁
由動能定理得：－mg x₀sinθ－μ₂mgcosθx₀  =mv₁²－mv₀₂^2，v₁無解
若傳送帶對物體的摩擦力方向始終向上，設物體到B端速度v₂
由動能定理得：－mgx₀sinθ+μ₂mgcosθx₀  = mv₂²－mv₀₂²
∴v₂= m/s >5m/s
故只能是摩擦力方向先向下后向上
當摩擦力方向向下時，由牛頓第二定律得
mgsinθ+μ₂mgcosθ = ma₁（1分）
∴a₁= 10.8m/s²
當摩擦力方向向上時，由牛頓第二定律得mgsinθ－μ₂mgcosθ = ma₂（1分）
∴a₂= 1.2m/s²
設傳送帶速度為v′，則有+  = x₀（2分）
∴v′= m/s = 2m/s（2分）
考點：本題考查了牛頓運動定律和平拋運動。