Question

2011年11月3日凌晨，我國“神舟八號”飛船與“_天宮一號”實現完美對接，標志著我國的航天事業又邁出了堅實的一步，不久的將來我國宇航員也將登陸月球．假設某次登陸活動中，宇航員為了測定月球表面的重力加速度，做了如下探究：將直徑為d的光滑環形軌道豎直固定，在軌道最高點安裝一個壓力傳感器P，讓小滑塊在軌道內做圓周運動，如圖所示．當小滑塊經過軌道最高點速度為V₀時，傳感器測得的壓力恰為零．已知月球的半徑為R_月．
（1）試求月球表面的重力加速度G_月；
（2）若給月球發射一顆人造衛星，試計算衛星的運行周期應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點到最高點過程中，只有月球的引力做負功，到達最高點時，由月球的引力提供其圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度．
（2）由月球表面的物體的重力約等于物體與月亮的萬有引力可得月球的質量；在月球表面上發射衛星的條件是，衛星的速度滿足萬有引力提供勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程即可．

解答：解：（1）由于小滑塊恰能通過軌道最高點，所以有：mG_月=m

v 2 0

R

 ①
    R=

d

2

  ②
聯立①②解得：G_月=

2 v 2 0

d

  ③
（2）衛星運動時萬有引力等于向心力，即
  G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r  ④
在月球表面，萬有引力近似等于其重力，即
 G

Mm

R 2 月

=mG_月  ⑤
聯立④⑤解得 T=2π

r3 R 2 月 G月

  ⑥
當衛星貼近月球表面運動時，r≈R_月，此時運動周期最短，故T′≥2π

R月 G月

  ⑦
又由③式可得T′≥

π

v0

2R月d

答：
（1）月球表面的重力加速度G_月為

2 v 2 0

d

．
（2）若給月球發射一顆人造衛星，衛星的運行周期應滿足的條件是T′≥

π

v0

2R月d

．

點評：在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬有引力恰提供其繞星球表面運行的向心力時的速度，此時軌道半徑就是星球的半徑．