Question

一個豎直固定在地面上的內壁光滑的透氣圓筒，筒中有一勁度系數為k的輕彈簧，其下端固定，上端連接一滑塊A，平衡時彈簧的壓縮量為x₀，彈性勢能為E，如圖所示．物塊B從A的正上方距離為9x₀的P處自由落下，與A發生碰撞，碰撞作用時間極短，且碰撞中沒有能量損失，碰后B立刻反彈，上升的最大高度為4x₀．現使A恢復靜止，改用另一質量為物塊B質量5倍的物塊C從某處自由落下，落在A上立刻與A一起向下運動，但并不粘連．為使之后的運動過程中A、C兩物體不會分離，求物塊C下落時距A的高度H．

Answer 1

分析：A靜止時，根據平衡條件列出等式．由機械能守恒定律研究B下落的過程，列出等式．
B與A發生完全彈性碰撞，根據系統動量守恒和機械能守恒列出等式表示出碰后B速度大小．
B反彈，根據機械能守恒列出等式．C與A碰前根據機械能守恒列出等式，C與A碰撞由動量守恒列出等式．
A、C分離發生在彈簧原長處O，不分離即系統至O點速度為零．由系統機械能守恒求解．

解答：解：設A的質量為m，A靜止，有：mg=kx₀…①
設B的質量為m_B，B與A碰前速度為v₁，由機械能守恒定律可知：
mBg?9x0=

1

2

mB

v

2 1

…②
B與A發生完全彈性碰撞，設碰后A、B速度大小分別為v1′、v2′，
根據系統動量守恒有：
mBv1=-mBv2′+mv1′…③
根據系統機械能守恒有：

1

2

m_B

v

2 1

=

1

2

m_B

v′

2 2

+

1

2

m

v′

2 1

…④
可得：v2′=

m-mB

m+mB

?v1…⑤
B反彈，根據機械能守恒得：
m_Bg?4x₀=

1

2

m_B

v′

2 2

…⑥
由②-⑥可知：mB=

1

5

m…⑦
由題可知：m_C=5m_B=m…⑧
設C與A碰前速度為v₂，由機械能守恒定律可知：
mg?H=

1

2

m

v

2 2

…⑨
C與A碰撞，碰后速度為v₃，由動量守恒得：mv₂=2mv₃…⑩
A、C分離發生在彈簧原長處O，不分離即系統至O點速度為零．由系統機械能守恒可知：

1

2

×2m

v

2 3

+E=2mgx₀
解得：H=4x₀-

2E

mg

=4x₀-

2E

kx0

答：為使之后的運動過程中A、C兩物體不會分離，物塊C下落時距A的高度是4x₀-

2E

kx0

．

點評：本題多次運用了動量守恒定律、機械能守恒定律，綜合性較強，關鍵是選擇好研究的過程，運用合適的規律列表達式求解．