Question

如圖所示，在水平地面上方附近有一范圍足夠大的互相正交的勻強電場和勻強磁場區域．磁場的磁感應強度為B，方向水平并垂直紙面向里．一質量為m、帶電荷量為q的帶正電微粒在此區域內沿豎直平面（垂直于磁場方向的平面）做速度大小為v的勻速圓周運動，重力加速度為g．
（1）求此區域內電場強度的大小和方向
（2）若某時刻微粒在場中運動到P點時，速度與水平方向的夾角為60°，且已知P點與水平地面間的距離等于其做圓周運動的半徑．求該微粒運動到最高點時與水平地面間的距離．
（3）當帶電微粒運動至最高點時，將電場強度的大小變為原來的

1

2

（不計電場變化對原磁場的影響），且帶電微粒能落至地面，求帶電微粒落至地面時的速度大小．

Answer 1

（1）由于帶電微粒可以在電場、磁場和重力場共存的區域內沿豎直平面做勻速圓周運動，表明帶電微粒所受的電場力和重力大小相等、方向相反．
因此電場強度的方向豎直向上．
設電場強度為E，則有mg=qE，即E=

mg

q

．
（2）設帶電微粒做勻速圓周運動的軌道半徑為R，根據牛頓第二定律和洛侖茲力公式有qvB=m

v2

R

，解得，R=

mv

qB

依題意可畫出帶電微粒做勻速圓周運動的軌跡，由如圖所示的幾何關系可知，該微粒運動至最高點時與水平地面間的距離為：h_m=

5

2

R=

5mv

2qB

（3）將電場強度的大小變為原來的

1

2

，則電場力變為原來的

1

2

，即F_電=

1

2

mg．
帶電微粒運動過程中，洛侖茲力不做功，所以在它從最高點運動至地面的過程中，只有重力和電場力做功．設帶電微粒落地時的速度大小為v_t，根據動能定理有
mgh_m-F_電h_m=

1

2

mv_t²-

1

2

mv²
解得：v_t=

v2+ 5mgv 2qB

答：（1）電場強度的方向豎直向上，大小為E=

mg

q

．
（2）該微粒運動到最高點時與水平地面間的距離是

5mv

2qB

．
（3）帶電微粒落至地面時的速度大小是

v2+ 5mgv 2qB

．