Question

某同學(xué)設(shè)想用帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡做出“0”字樣，首先，在真空空間的豎直平面內(nèi)建立xoy坐標(biāo)系，在x₁=-0.1m和x₂=0.1m處有兩個(gè)與y軸平行的豎直界面PQ、MN把空間分成Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ三個(gè)區(qū)域，在這三個(gè)區(qū)域中分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₃、B₂、B₁，其大小滿足B₂=2B₃=2B₁=0.02T，方向如圖所示．在Ⅱ區(qū)域中的x軸上、下兩側(cè)還分別存在勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁、E₂（圖中未畫(huà)出），忽略所有電、磁場(chǎng)的邊緣效應(yīng)，ABCD是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心對(duì)稱的正方形，其邊長(zhǎng)a=0.2m．現(xiàn)在界面MN上的A點(diǎn)沿x軸正方向發(fā)射一個(gè)比荷q/m=1.0×10⁸C/kg的帶正電的粒子（其重力不計(jì)），粒子恰能沿圖中實(shí)線運(yùn)動(dòng)，途經(jīng)B、C、D三點(diǎn)后回到A點(diǎn)，做周期性運(yùn)動(dòng)，軌跡構(gòu)成一個(gè)“0”字，已知粒子每次穿越Ⅱ區(qū)域時(shí)均作直線運(yùn)動(dòng)．試求：

（1）粒子自A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小v₀；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E₁、E₂的大小和方向；
（3）粒子作一次周期性運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在區(qū)域Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，直徑2R=a，粒子由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律可求出速度v₀；
（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，由左手定則判斷洛倫茲力的方向就能知道電場(chǎng)力的方向和電場(chǎng)強(qiáng)度方向．由二力平衡列式，求場(chǎng)強(qiáng)的大小．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，剛好運(yùn)動(dòng)了一個(gè)周期，由周期公式求時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子在區(qū)域Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，直徑2R=a，由
  qv₀B₁=m

v 2 0

R

得v0=

qB1R

m

=1×10⁵m/s
（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，由左手定則判斷可知洛倫茲力的方向沿y軸正方向，則電場(chǎng)力沿y負(fù)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度E₁也沿y軸負(fù)方向．
  且有  qv₀B₂=qE₁，則得E₁=v₀B₂=2×10³N/C．
同理，E₂=v₀B₂=2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子在區(qū)域Ⅱ運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=2×

a

v0

在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=T=

2πm

qB1

則得粒子作一次周期性運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間t=t₁+t₂=2×

a

v0

+

2πm

qB1

代入數(shù)據(jù)解得，t=（4+2π）×10^-6s
答：
（1）粒子自A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小v₀是1×10⁵m/s．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小為2×10³N/C，方向沿y軸負(fù)方向；E₂的大小為2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子作一次周期性運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間是（4+2π）×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：本題是粒子速度選擇器與磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的綜合，通過(guò)分析粒子的受力情況來(lái)分析其運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合求解．