Question

【題目】生活中經常會看到流體（如空氣、水等）的旋渦現象。例如風由于旗桿的阻礙而產生旋渦，旋渦又引起空氣、旗幟、旗桿在垂直于風速方向上的振動，風速越大這種振動就越快。

（1）利用旋渦現象可以測定液體的流速。如圖甲所示（為截面圖），旋渦發生體垂直于管道放置，在特定條件下，由于旋渦現象，液體的振動頻率f與旋渦發生體的寬度D、液體的流速v有簡單的正比或反比的關系。請結合物理量的單位關系寫出頻率f與v、D之間的關系式（比例系數可設為k，k是一個沒有單位的常量）

（2）液體的振動頻率可利用電磁感應進行檢測。如圖乙所示，將橫截面直徑為d的圓柱形金屬信號電極垂直于流體流動方向固定于管道中，其所在區域有平行于信號電極、磁感應強度為B的勻強磁場，圖丙為俯視的截面圖。流體振動時帶動信號電極在垂直于流速的方向上振動，若信號電極上的感應電動勢e隨時間t的變化規律如圖丁所示，圖中的Em和T均為已知量。求流體的振動頻率f以及信號電極振動的最大速率vm；

（3）為了探測電極產生的信號，關于檢測元件的設計，有人設想：選用電阻率為ρ的某導電材料制成橫截面積為S、半徑為r的閉合圓環，某時刻在圓環內產生一瞬時電流，由于自感該電流會持續一段短暫的時間，以便儀器檢測。已知電流在環內產生的磁場可視為均勻磁場，磁感應強度的大小與電流成正比，方向垂直于圓環平面。若圓環內的瞬時電流恰好經減為零（T為流體的振動周期），且此過程中電流的平均值與初始時刻的電流成正比。結合（1）問的結果，請推導r與v、ρ、D以及S之間的關系。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）

【解析】

（1）因k無單位，v的單位m/s，D的單位m，f的單位是s-1，則由各物理量的單位關系可得

（2）信號電極做受迫振動，因而其振動頻率與流體的振動頻率相等，即

由題意可得

則

（3）設圓環電阻為R，圓環的初始電流為I，在時間內的平均電流為，則

①

而

②

且

③

④

由題意可知B=k1I，則有

⑤

由題意可知

⑥

聯立①②③④⑤⑥式并代入，整理可得