Question

如圖，在傾角為θ=30°的足夠長的光滑絕緣斜面上，帶正電的物塊A和不帶電絕緣物塊B相距2L．m_A=3m_B，物塊A位于斜面底端，斜面處于范圍足夠大、方向平行斜面向上的勻強電場中．將A、B同時由靜止釋放，兩物塊恰好在AB中點處發生第一次碰撞，A、B碰撞過程相互作用時間極短，已知A、B碰撞過程無機械能損失，且A的電荷沒有轉移，A、B均可視為質點，重力加速度為g．求：
（1）第一次相碰前瞬間A、B的速度大��；
（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之間的最大距離；
（3）若斜面長度有限，要使A、B僅能在斜面上發生兩次碰撞，試求斜面長度的范圍．

Answer 1

分析：1、對B由動能定理列出等式求解相碰前瞬間B的速度，A與B都從靜止開始運動，經歷相同的時間和相同的位移大小，所以A、B的速度大小相等．
2、由于A、B碰撞過程相互作用時間極短，合外力的沖量近似為零，系統的動量認為守恒，根據動量守恒定律列出等式．
已知A、B碰撞過程無機械能損失，根據機械能守恒列出等式求解．
3、分析A、B的運動情況，根據動量守恒定律和機械能守恒列出等式，運用牛頓第二定律和運動學公式結合進行求解．

解答：解：（ 1 ）對B由動能定理研究從靜止開始到相碰前瞬間有：
m_B gLsinθ=

1

2

m_B v₀²
v₀=

gL

A與B都從靜止開始運動，經歷相同的時間和相同的位移大小，所以A、B的速度大小相等．
所以A、B的速度大小均為：

gL

．   
（2）選平行斜面向上為正方向，
由于A、B碰撞過程相互作用時間極短，合外力的沖量近似為零，系統的動量守恒，根據動量守恒定律列出等式，根據對第一次碰撞有：
m_A v₀-m_B v₀=m_A v₁+m_B v₂
已知A、B碰撞過程無機械能損失，根據機械能守恒得：

1

2

m_Av₀²+

1

2

m_Bv₀²=

1

2

m_Av₁²+

1

2

m_Bv₂²
解得：v₁=0，v₂=2

gL

所以撞后A勻加速，B勻減速，兩球加速度大小相等．
由m_Bgsinθ=m_Ba有：a=

1

2

g
設A、B第二次碰撞前距離為△x₁，有：
△x₁=x_B-x_A=v₂t-

1

2

at²-

1

2

at²
當t=

v2

2a

=2

L g

 時，△x₁有最大值2L
（3）當△x₁=0時，A、B第二次碰撞，此時t=t₁=4

L g

 
v_A=at=2

gL

，v_B=v₂-at=0
對第二次碰撞，根據動量守恒定律和機械能守恒有：
m_Av_A+m_Bv_B=m_A v₃+m_B v₄

1

2

m_Av_A²+

1

2

m_Bv_B²=

1

2

m_Av₃²+

1

2

m_Bv₄²
解得：v₃=

gL

，v₄=3

gL

設A、B第三次碰撞前距離為△x₂，有：
△x₂=x_B-x_A=v₄t-

1

2

at²-（v₃t+

1

2

at²）
當△x₂=0時，A、B即將第三次碰撞，此時t=t₂=4

L g

 
所以斜面的最小長度：x_min=L+v₂ t₁-

1

2

a t₁²
x_min=5L          
所以斜面的最大長度：x_max=L+v₂ t₁-

1

2

a t₁²+v₄ t₂-

1

2

a t₂²
x_max=13L      
答：（1）第一次相碰前瞬間A、B的速度大小均為

gL

；
（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之間的最大距離是2L；
（3）若斜面長度有限，要使A、B僅能在斜面上發生兩次碰撞，斜面長度的范圍是5L≤x≤13L．

點評：本題的過程比較復雜，按時間順序進行分析．關鍵要分析第一次碰后A、B的運動情況，根據動量守恒定律和機械能守恒列出等式，運用牛頓第二定律和運動學公式結合進行求解．