Question

如圖所示，斜面底端與一水平板左端a相接，平板長2L，中心C固定在高為R=L=1m的豎直支架上，支架的下端與垂直于紙面的固定轉軸O連接，因此平板可繞轉軸O沿順時針方向翻轉．當把質量m=0.5kg的小物塊A輕放在C點右側離C點0.2m處時，平板左端a恰不受支持力．A與斜面間和平板的動摩擦因數均為μ=0.2，A從斜面由靜止下滑，不計小物塊在a處碰撞時的能量損失．重力加速度g=10m/s²．現要保證平板不翻轉，求：
（1）小物塊能在平板上滑行的最大距離．
（2）有同學認為，在h一定的情況下，平板是否翻轉與斜面的傾角有關，傾角越大，越容易翻轉．請用相關知識分析上述認識是否正確．
（3）若h=1m，斜面傾角不能超過多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題，把質量m=0.5kg的小物塊A輕放在C點時，平板左端a恰不受支持力，此時平板的重力力矩等于mgd=1N?m．小物塊能在平板上滑行時，以O支點，支架有平板逆時針方向的力矩、滑動摩擦力順時針方向力矩，及小物塊重力和力矩，根據力矩平衡條件求解小物塊能在平板上滑行的最大距離．
（2）要使平板發生翻轉，小物塊至少要滑到C點右側．由于小物塊在平板上克服摩擦力做功μmgcosθ=μmg是確定的，可知在h一定的情況下，斜面傾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距離就越長，即平板越容易翻轉．
（3）由動能定理得，對整個過程研究，求解斜面傾角．
解答：解：（1）滑動摩擦力f=μmg=0.2×0.5×10N=1N
其順時針力矩為M_f=fR=1N?m
平板的重力矩為M_G=mgd=0.5×10×0.2Nm=1N?m
根據力矩平衡條件可得小物塊在平板上滑行的最大距離x=L=1m．
（2）要使平板發生翻轉，小物塊至少要滑到C點右側．由于小物塊在平板上克服摩擦力做功是確定的，所以在h一定的情況下，斜面傾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距離就越長，即平板越容易翻轉．
（3）設小物塊恰好能滑到C點，
由動能定理得mgh-（W_克斜+W_克板）=0
式中W_克斜=μmgcosθ，W_克板=μmgL
聯立得mgh-（μmg+μmgL）=0，
代入數據，解得θ=14°
答：
（1）小物塊能在平板上滑行的最大距離是1m．
（2）有同學認為，在h一定的情況下，平板是否翻轉與斜面的傾角有關，傾角越大，越容易翻轉．請用相關知識分析上述認識是否正確．
（3）若h=1m，斜面傾角不能超過14°．
點評：本題是力矩平衡、動能定理的結合，其中物塊在斜面上克服摩擦力做功W_克斜=μmgcosθ=μmg，是物塊在斜面滑行水平位移大小．