Question

（16分）如圖所示，一根內壁光滑的直角三角形玻璃管子處于豎直平面內，傾斜角為θ= 37°，讓兩個小球分別從頂點A由靜止開始出發，一個球沿AC滑下，到達C所用的時間為t₁，另一個球豎直自由下落經過B到達C，所用的時間為t₂，在轉彎處有個極小的光滑圓弧，可確保小球轉彎時無機械能損失，且轉彎時間可以忽略不計。問：

（1）計算t₁∶ t₂的值；
（2）若用同樣的玻璃管把ABC軌道改為如圖所示的ADEFC（在轉彎處均有個極小的光滑圓弧），仍讓小球從A靜止開始運動，依次通過D、E、F后到達C點所用時間為t₃，試定性說明t₃和t₁、t₂的大小關系。

Answer 1

解：(1)設內壁光滑的直角三角形玻璃管三邊AB、BC、AC分別為3l、4l、5l，由AC邊滑下，根據牛頓第二定律可得加速度a=gsinθ=6m/s²。
由5l=at₁²，解得t₁=5。
沿ABC滑下，在AB段由3l=gt₂₁²，解得t₂₁=。
沿水平段BC運動速度，v= gt₂₁=，
由4l=vt₂₂，解得t₂₂=。
t₂= t₂₁ +t₂₂=5。
t₁∶ t₂=1 ∶ 1。
即兩球同時釋放同時到達。
（2）若用同樣的玻璃管把ABC軌道改為如圖所示的ADEFC，若球沿ADEF到C，則可判斷小球在水中管中運動時間是相等的。沿DE運動時速度比在BC中運動時要小，故在水平管中運動時間長，所以沿ABC管運動時間比沿ADEFC的時間要短一些，所以t₃> t₂= t₁.

應用牛頓第二定律和運動學公式列方程解答。