Question

如圖11所示，質量為m的小球，由長為l的細線系住，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內做圓周運動，不計線與釘子碰撞時的能量損失．求釘子位置在水平線上的取值范圍．

Answer 1

l≤x≤l

這是一個圓周運動與機械能兩部分知識綜合應用的典型問題．題中涉及兩個臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個是在圓周運動的最高點的瞬時速度必須不小于（r是做圓周運動的半徑）．設在D點繩剛好承受最大拉力，設DE=x₁，則：AD=
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r₁=l－AD= l－……①（1分）
當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg=…………………………………………②     （1分）
結合F≤9mg可得：≤8mg……………………③    （1分）
由機械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²（2分）
即：v²=2g(+r₁) ………………………………④       （1分）
由①②③式聯立解得：x₁≤l…………………⑤     （1分）
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．
設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x₂，如圖，則：AG=
r₂=l－AG= l－…………………………⑥       （1分）
在最高點：mg≤……………………………⑦       （1分）
由機械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧               （1分）
由④⑤⑥聯立得：x₂≥l…………………………⑨                （1分）
在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l         （1分）