Question

如圖所示，半徑r=0.80m的光滑金屬半球殼ABC與水平面在C點連接，一質量m=0.10kg的小物塊在水平面上距C點s=1.25m的D點，以不同的初速度向C運動．O點是球心，D、C、O三點在同一直線上，物塊與水平面間的動摩擦因數?=0.20，取g=10m/s²．
（1）若物塊運動到C點時速度為零，恰好沿球殼滑下，求物塊滑到最低點B時對球殼的壓力大小．
（2）若物塊運動到C點水平飛出，恰好落在球殼的最低點B，求物塊在D點時的初速度大小．
（3）通過分析判斷小物塊能否垂直撞擊球殼．

Answer 1

（1）設小物塊滑到最低點B的速度為v_B，受到球殼的支持力為N_B，則在小物塊從C至B的過程中只有重力做功，根據動能定理有：
mgr=

1

2

m

v

2B

-0
可得：vB=

2gr

小物塊在B點所受合力提供其圓周運動向心力，根據牛頓第二定律有：
NB-mg=m

v 2B

r

得：NB=mg+m

v 2B

r

=mg+m

2gr

r

=3mg=33×10×0.1N=3N
根據牛頓第三定律可知，小物塊在B點對半球殼的壓力為3N；
（2）小物塊從C點水平滑出做平拋運動，其恰好落在B點，則可知小物塊在平拋過程中：
水平位移x=r=v_ct…①
豎直位移y=r=

1

2

gt2…②
由①和②可得：vC=

r

t

=

r

2r g

=

gr 2

=

10×0.8 2

m/s=2m/s
小物塊在從D到C的過程中只有滑動摩擦力做功，根據動能定理有：
-μmgs=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

2D

解得：vD=

v 2C +2μgs

=

22+2×0.2×1.25

m/s=3m/s
（3）若物塊撞擊球殼BC段，速度方向斜向左下方，則不可能垂直撞擊半球殼，若小球落在AB上的E點，OE與豎直方向的夾角為θ，E點時速度與豎直方向夾角為α，則小球從C到E做平拋運動有：
豎直方向位移：y=rcosθ=

1

2

gt2，
所以其運動時間為：t=

2rcosθ g

在E點豎直分速度：v_y=gt=

2grcosθ

小物塊在水平方向的位移為：x=r+rsinθ=v_Ct=vC

2rcosθ g

在E點水平分速度：vc=

r+rsinθ

2rcosθ g

所以在E點小物塊速度方向與豎直方向的夾角的正切值：
tanα=

vx

vy

=

r+rsinθ 2rcosθ g

2grcosθ

=

r+rsinθ

2rcosθ

=

1+sinθ

2cosθ

因為：tanα=

1+sinθ

2cosθ

＞tanθ
所以小球不可能垂直撞擊球殼．
答：（1）若物塊運動到C點時速度為零，恰好沿球殼滑下，物塊滑到最低點B時對球殼的壓力大小為3N；
（2）若物塊運動到C點水平飛出，恰好落在球殼的最低點B，物塊在D點時的初速度大小為3m/s；
（3）小球不可能垂直撞擊球殼．