Question

（2011?周口模擬）為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011年10月發射第一顆火星探測器“螢火一號”．假設探測器在離火星表面高度分別為h₁和h₂的圓軌道上運動時，周期分別為T₁和T₂．火星可視為質量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉影響，萬有引力常量為G．僅利用以上數據，可以計算出（　　）

A．火星的半徑和火星對“螢火一號”的引力

B．火星的密度和火星的第一宇宙速度

C．火星的質量和“螢火一號”的質量

D．火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力

Answer 1

分析：根據萬有引力提供探測器做圓周運動所需的向心力，G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，列兩方程組，可求出火星的質量和半徑．根據密度的定義式，可求出火星的密度．根據第一宇宙速度的公式v=

GM R

，可計算出火星的第一宇宙速度．環繞天體的質量在計算時約去，無法求出．因為不知“螢火一號”的質量，所以無法求出火星對“螢火一號”的引力．

解答：解：A、D：萬有引力提供探測器做圓周運動所需的向心力，G

Mm

(R+h1)2

=m(

2π

T1

)2(R+h1)，G

Mm

(R+h2)2

=m(

2π

T2

)2(R+h2)，聯立兩方程，可求出火星的質量和半徑．
       因為不知“螢火一號”的質量，所以無法求出火星對“螢火一號”的引力．
       故A、D錯誤．
B、火星的密度根據定義為ρ=

M

V

=

M

4 3 πR3

，火星的第一宇宙速度為v=

GM R

，由于M和R都能求出，故火星的密度和火星的第一宇宙速度都能求出．故B正確．
C、“螢火一號”繞火星做圓周運動，是環繞天體，在計算時被約去，所以無法求出“螢火一號”的質量．故C錯誤．
故選B．

點評：本題以“螢火一號”火星探測器為背景材料，體現了現代航天技術始終是高考的一個熱點．主要考查對萬有引力定律、牛頓第二定律、勻速圓周運動等知識點的綜合運用能力．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．
要求解一個物理量大小，我們應該把這個物理量先表示出來，再根據已知量進行判斷．