Question

如圖所示，足夠長的光滑絕緣水平臺左端固定一被壓縮的絕緣輕質彈簧，一個質量m=0.04kg、電量q=+2×10^-4c的可視為質點的帶電小球與彈簧接觸但不栓接．某一瞬間釋放彈簧彈出小球，小球從水平臺右端A點飛出，恰好能沒有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的最高B點，并沿軌道滑下．已知AB的豎直高度h=0.45m，傾斜軌道與水平方向夾角為α=37°、傾斜軌道長為L=2.0m，帶電小球與傾斜軌道的動摩擦因數μ=0.5．傾斜軌道通過光滑水平軌道CD與光滑豎直圓軌道相連，在C點沒有能量損失，所有軌道都絕緣，運動過程小球的電量保持不變．只有過山車模型的豎直圓軌道處在范圍足夠大豎直向下的勻強電場中，場強E=2.0×10³V/m．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，取g=10m/s²）求：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢能？
（2）要使小球不離開軌道（水平軌道足夠長），豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）如果豎直圓弧軌道的半徑R=0.9m，小球進入軌道后可以有多少次通過豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點P？

Answer 1

分析：（1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能．先根據小球從A到B平拋運動過程，求出小球到B點時豎直分速度，由速度的分解求出到A點的速度，即可根據機械能守恒求解被釋放前彈簧的彈性勢能．
（2）要使小球不離開軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過豎直圓軌道最高點時，先由牛頓第二定律和向心力知識求出到最高點的速度，再由動能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動能定理求解軌道半徑．
（3）根據R=0.9m與上題結果中軌道半徑R₂的關系，知道小球沖上圓軌道H₁=0.825m高度時速度變為0，然后返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為H₂．對兩個過程，由動能定理求出H₂與H₁的關系，歸納得到n次上升高度H_n，運用數學知識求解．

解答：解：（1）A到B平拋運動：v_y²=2gh
代入數據解得：v_y=

2gh

=

2×10×0.45

m/s=3m/s
B點：tan37°=

vy

vx

得：v_x=v_A=

vy

tan37°

=

3

3 4

m/s=4m/s
被釋放前彈簧的彈性勢能：E_p=

1

2

m

v

2 A

=

1

2

×0.04×42J=0.32J；
（2）B點：v_B=

v 2 x + v 2 y

=

42+32

m/s=5m/s
B到C：（mgsin37°-μmgcos37°）L=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

，
代入數據解得：v_C=

33

m/s
①恰好過豎直圓軌道最高點時：mg+qE=m

v 2 0

R1

，
  qE=0.4N=mg
從C到圓軌道最高點：-（mg+qE）2R₁=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 C

得：R₁=0.33m
②恰好到豎直圓軌道最右端時：-（mg+qE）R₂=0-

1

2

m

v

2 C

得：R₂=0.825m
要使小球不離開軌道，豎直圓弧軌道的半徑R≤0.33m或R≥0，825m；
（3）R=0.9m＞R₂，小球沖上圓軌道H₁=0.825m高度時速度變為0，然后返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為H₂．
有：（mg+qE）H₁=mgh₁+μmgh₁?

4

3

，
    （mg+qE）H₂=mgh₁-μmgh₁?

4

3

，
同除得：H₂=

1- 4 3 μ

1+ 4 3 μ

H₁=

1

5

H₁之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運動．
同理：n次上升高度H_n=（

1

5

）^n-1H₁（n＞0）為一等比數列．  
(

1

5

)n-1×0.825≤0.01，當n=4時，上升的最大高度小于0.01m
則小球共有6次通過距水平軌道高為0.01m的某一點．  
答：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢能為0.32J．
（2）要使小球不離開軌道（水平軌道足夠長），豎直圓弧軌道的半徑R≤0.33m或R≥0，825m．
（3）如果豎直圓弧軌道的半徑R=0.9m，小球進入軌道后可以有6次通過豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點P．

點評：本題是復雜的力電綜合題，明確研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據題目已知條件和求解的物理量選擇物理規律解決問題．要注意小球運動過程中各個物理量的變化．