Question

【題目】如圖所示，足夠長的光滑水平桌面與長度L=5.4m 的水平傳送帶平滑連接，傳送帶右端與半徑r= 0.5m的光滑半圓軌道相切，半圓的直徑CE豎直。A、B兩小物塊的質量分別為mA=4kg、mB=2kg，物塊之間壓縮著一根輕彈簧并用細繩鎖定。當A、B在桌面上向右運動的速度υ1＝1m/s時，細線斷裂，彈簧脫離兩物塊后，A繼續向右運動，并在靜止的傳送帶上滑行了s=1.8m。已知物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.25，重力加速度g = 10m/s2。求

(1)細線斷裂后，彈簧釋放的彈性勢能EP ；

(2)若在物塊A滑上傳送帶時，傳送帶立即以速度υ1＝1m/s逆時針勻速運動，求物塊與傳送帶之間因摩擦產生的熱量Q1；

(3)若物塊A滑仁傳送帶時，傳送帶立即以速度υ2順時針勻速運動，為使A能沖上圓軌道，并通過最高點E，求υ2的取值范圍，并作出物塊與傳送帶之間因摩擦產生的熱量Q2與υ2的關系圖。（作圖不需要推導過程，標示出關鍵點的橫、縱坐標）

Answer 1

【答案】(1) Ep=24J(2) Q1= 32J (3) v2≥5m/s

【解析】

（1）設A、B與彈簧分離時的速度分別為vA、vB，以向右為正方向，由動量守恒定律

（mA+mB）v=mAvA+mBvB

A在桌面上運動，由動能定理

-μmAgs=0-

聯立解得

vA=3m/s

vB=-3m/s

彈簧釋放的彈性勢能為

Ep=+-

解得Ep=24J ；

（2）A在傳送帶上向右減速，速度減為零后又向左加速，直到與傳送帶共速，之后向左離開傳送帶。設相對運動的時間為M加速度大小為

a=μg=2.5m/s2

由運動學公式

-v1=vA-at1

A的位移

傳送帶的位移

x帶1=（-v1）·t1

滑塊與傳送帶問的相對運動的路程為s1=x1-x帶1

解得

摩擦生熱Q1=μmAgs1=32J

（3）若傳送帶速度足夠大，A將一直加速，此時A沖上圓軌道的速度最大。由運動學公式

解得vmax=6m/s

當A剛好能到達E點時，A沖上圓軌道的速度最小。在E點，由牛頓第二定律

mg=m

A由C運動到E，由機械能守恒定律

mg·2r=

聯立解得vmin=5m/s

綜上，v2≥5m/s

摩擦生熱Q2與v2的關系如圖

（i）當5m/s≤v2＜6m/s時，A在傳送帶上先加速后勻速運動。A加速的位移

x2=

A加速的時間t2=

傳送帶的位移x帶2=v2t2=

A傳送帶的相對運動的路程

s2=x帶2-x2=

解得 Q2=μmAgs2=2J

（ii）當v2＞6m/s時，A在傳送帶上將一直加速。

A加速的位移=L=5.4m

A加速度的時間==1.2s

傳送帶的位移x帶2′=v2t2′=1.2v2

A和傳送帶的相對運動的路程

s2′=x帶2′-=（1.2v2-5.4）m

解得Q2′=μmAgs2′=（12v2-54）J

綜上，Q2=2J（5m/s≤v2＜6m/s），（12v2-54）J（v2≥6m/s）。