Question

（2009?咸寧模擬）如圖所示，在以O為圓心，半徑為R=10

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cm的圓形區域內，有一個水平方向的勻強磁場，磁感應強度大小為B=0.10T，方向垂直紙面向外．豎直平行放置的兩金屬板A、K連在如圖所示的電路中．電源電動勢E=91V，內阻r=1.0Ω，定值電阻R₁=10Ω，滑動變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩個小孔，且S₁、S₂跟O在豎直極板的同一直線上，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點跟熒光屏D之間的距離為H=3R．比荷為2.0×10⁵C/kg的帶正電的粒子由S₁進入電場后，通過S₂向磁場中心射去，通過磁場后落到熒光屏D上．粒子進入電場的初速度、重力均可忽略不計．
（1）求如果粒子垂直打在熒光屏上的P點，電壓表的示數多大？
（2）調節滑動變阻器滑片P的位置，求粒子到打到光屏的范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直打在熒光屏上的P點時，在磁場中運動軌跡必定為四分之一圓弧，由幾何關系得其運動半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，可得運動速度，對于加速過程，由動能定理可得加速電壓，此即兩板間的電壓
（2）滑動片在最左端時，有歐姆定律可解得結果，極板間電壓最小，在最右端時電壓最大，電壓的變化會引起加速后速度達到變化，進而影響圓周運動的半徑變化，故射出磁場時的偏角改變，射出磁場后粒子做勻速直線運動，可得粒子到打到光屏的范圍．

解答：解：（1）設離子由電場射出后進入磁場時的速度為v．因離子是沿圓心O的方向射入磁場，由對稱性可知，離子射出磁場時的速度方向的反向延長線也必過圓心O．離開磁場后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點），則離子在磁場中速度方向偏轉了90°，由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運動的半徑
r′=R=10

3

cm①
設離子的電荷量為q、質量為m，進入磁場時的速度為v有
由qvB=m

mv 2

r′

得
r′=

mv

qB

②
設兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，由動能定理有：
qU=

1

2

 mv²③
而

q

m

=2×10⁵C/kg ④
由②③兩式可得
U=

B2r′2q

2m

⑤
代入有關數值可得U=30V，也就是電壓表示數為30V．
（2）當滑動變阻器滑動頭在左端時，由歐姆定律得：
U₁=

E

R1+R2+r

 R₁=

91

10+80+1

×10v=10V，
qU₁=

1

2

mv

2 1

r1=

mv1

qB

解得：r₁=10cm，粒子進入磁場后的軌跡為圖甲
由幾何關系得偏轉角為θ₁=120°，故α=60°，
打在熒光屏上的M點，MO′=

H

3

=30cm
當滑動頭在有端時，由歐姆定律得：
U₂=

E

R1+R2+r

 （R₁+R₂）=90V
qU₂=

1

2

mv

2 2

r2=

mv2

qB

解得r₂=30cm，粒子進入磁場后的軌跡為圖乙，由幾何關系得，
偏轉角θ₂=60°，故β=60°，打在熒光屏上的N點，且：
OO′N=

H

3

=30cm
故，調節滑動變阻器滑片P的位置，粒子到打到光屏的范圍為60cm
答：（1）粒子垂直打在熒光屏上的P點，電壓表的示數為30V
（2）粒子到打到光屏的范圍為60cm

點評：本題分析離子的運動情況是求解的關鍵和基礎，考查綜合應用電路、磁場和幾何知識，處理帶電粒子在復合場中運動問題的能力，綜合性較強．