Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上固定著-根光滑絕緣的圓形水平渭槽，其圓心在O點(diǎn)．過(guò)O點(diǎn)的-條直徑上的A、B兩點(diǎn)固定著兩個(gè)點(diǎn)電荷．其中固定于A點(diǎn)的為正電荷，電荷量大小為Q；固定于B點(diǎn)的是未知電荷．在它們形成的電場(chǎng)中，有-個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m、電荷量大小為q的帶電小球正在滑槽中運(yùn)動(dòng)，小球的速度方向平行于水平面，若已知小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度，AB間的距離為L(zhǎng)，∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，靜電力常量為k，
（1）作出小球在水平面上受力，并確定固定在B點(diǎn)的電荷及小球的帶電性質(zhì)：
（2）求B點(diǎn)電荷的電荷量大小；
（3）已知點(diǎn)電荷的電勢(shì)計(jì)算式為：φ=kQ/r，式中Q為場(chǎng)源電荷的電荷量，r為該點(diǎn)到場(chǎng)源電荷的距離．試?yán)�用此式證明小球在滑槽內(nèi)做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析：（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，必須有向心力，根據(jù)小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度可知，小球在C點(diǎn)的合力方向一定沿CO且指向O點(diǎn)，作出力圖，即可判斷出小球帶負(fù)電，B帶負(fù)電．若小球帶正電，B帶負(fù)電，小球在C點(diǎn)受到A的排斥力，受到B的吸引力，根據(jù)平行邊形定則可知，兩者的合力方向不可能沿CO且指向O點(diǎn)，所以小球帶正電，B帶負(fù)電是不可能的．
（2）根據(jù)小球在C點(diǎn)無(wú)切向加速度，切線方向力平衡，根據(jù)庫(kù)侖定律列式求得B的電荷量．
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸正方向，OC為y軸正方向，研究槽上某點(diǎn)[坐標(biāo)為（x，y）]的電勢(shì)，分析得到其電勢(shì)能不變，即可得到動(dòng)能不變．

解答：解：（1）由小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度，可知小球在C點(diǎn)的合力方向一定沿CO且指向O點(diǎn)，所以A處電荷對(duì)小球吸引，B處電荷對(duì)小球排斥，因?yàn)锳處電荷為正，所以小球帶負(fù)電，B帶負(fù)電，如圖所示．
若小球帶正電，B帶負(fù)電，小球在C點(diǎn)受到A的排斥力，受到B的吸引力，根據(jù)平行邊形定則可知，兩者的合力方向不可能沿CO且指向O點(diǎn)，所以小球帶正電，B帶負(fù)電是不可能的．
（2）因?yàn)椤螦BC=∠ACB=30°，CO⊥OB，由幾何關(guān)系得：BC=2ABcos30°=

3

L
由于無(wú)切向加速度，小球沿切線方向的合力為零，則有
   k

Qq

L2

cos60°=k

QBq

( 3 L)2

cos30°
解得 Q_B=

3

Q
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸正方向，OC為y軸正方向，槽上某點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則該點(diǎn)的電勢(shì)為
  φ=

kQ

y2+( L 2 -x)2

-

k 3 Q

y2+( 3 2 L-x)2

而x2+y2=

3

4

L2
代入上式解得，φ=0
說(shuō)明圓周上各點(diǎn)電勢(shì)相等，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電勢(shì)能不變，根據(jù)能量守恒得知，小球的動(dòng)能不變，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．得證．
答：
（1）作出小球在水平面上受力如圖，小球帶負(fù)電，B帶負(fù)電：
（2）B點(diǎn)電荷的電荷量大小為

3

Q；
（3）證明見(jiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：本題的突破口是“小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度”，分析小球的受力情況，確定出向心力，判斷小球與B的電性．