Question

【題目】普通車輛過高速公路收費站時須在收費點停車繳費。目前逐步普及的ETC通道（如圖甲）則不需停車就自動完成繳費，節省了過站時間。已知收費點和收費通道的中點位于同一垂于道路的直線上（如圖乙）。兩種繳費方式可簡化為下列模型；普通車輛（甲車），以的速度行駛到某一位置時開始剎車到達收費點剛好停止，花20s的時間繳費，然后再加速到：ETC車輛（乙車），以速度行駛到繳費通道入口前某一位置開始減速，到達通道入口位置時速度降到，然后勻速通過長的通道，到達通道出口處后再加速到，設所有車輛減速過程的加速度大小均為，加速過程的加速度均為，若將汽車看成質點，求：

（1）甲車減速過程和加速過程的時間和位移；

（2）乙車輛通過收費站因繳費而耽誤的時間；

（3）原先并排行駛的兩輛車分別通過ETC通道和普通收費通道后最終相距多遠。

Answer 1

【答案】（1）減速階段4s，32m，加速階段8s，64m（2）3.6s（3）358.5m

【解析】

由題中“普通車輛過高速公路收費站時須在收費點停車繳費”可知，本題考查速度與位移之間的關系，根據速度公式和速度與位移公式可解答本題。

（1）減速過程根據公式可得

解得

減速位移為

解得

加速過程根據公式可得

解得

加速位移為

解得

（2）根據已知條件可得，乙車減速、加速階段的時間和位移分別為

解得

，

，

因此乙車全程運動的位移為

勻速運動階段的時間為

乙車通過ETC的總時間為

若乙車勻速通過，則時間為

解得

因此乙車輛通過收費站因繳費而耽誤的時間為

（3）甲車總時間為

因為甲車的時間大于乙車時間，因此在甲車恢復到原來速度這段時間，乙車的總位移為

解得

所以兩車最終相距

解得