Question

宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：
（1）求星體做勻速圓周運動的軌道半徑；
（2）若實驗觀測得到星體的半徑為R，求星體表面的重力加速度；
（3）求星體做勻速圓周運動的周期．

Answer 1

分析：（1）星體做勻速圓周運動的軌道半徑等于正方形對角線的一半．
（2）根據萬有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，求出星體表面的重力加速度．
（3）在四顆星組成的四星系統中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據F合=mr(

2π

T

)2，求出星體勻速圓周運動的周期．

解答：解：（1）由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑
   r=

2

2

a
（2）由萬有引力的定律可知
  G

mm′

R2

=m′g
則星體表面的重力加速度
  g=G

m

R2

（3）星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m?

2

2

a

4π2

T2

解得周期T=2πa

(4- 2 )a 7Gm

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，以及知道在四顆星組成的四星系統中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．