Question

宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：
（1）求星體做勻速圓周運動的周期．
（2）若假設能在其中某一個星上做這么一個實驗：站在h高處以v速度將一個物體水平拋出，測得落地點離拋出點水平位移為s，則該星半徑R=？

Answer 1

分析：（1）由星體的分布可以得到星體圓周運動的半徑，在由萬有引力充當向心力的周期表達式可以得到周期
（2）由平拋可以得到星體表面的重力加速度，在由萬有引力等于重力，可以解得星球半徑

解答：解：
（1）
由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑 r=

2

2

a 
由萬有引力定律和向心力公式得：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m

2

2

a

4π2

T2

解得：
T=2πa

2 a (2 2 +1)Gm

）
（2）
由萬有引力的定律可知：G

mm′

R2

=m′g′
則星體表面的重力加速度：g′=G

m

R2

由平拋規律：

s=vt h= 1 2 g/t2

得：
g/=

2h

t2

=

2hv2

s2

=G

m

R2

解得：
R=

s

v

Gm 2h

答：
（1）星體做勻速圓周運動的周期T=2πa

2 a (2 2 +1)Gm

（2）該星半徑R=

s

v

Gm 2h

點評：本題兩個重點，一是對每個星球受力的表達，二是由利用要平拋規律求表面重力加速度．